Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Untersuche das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} zu einem Polynom der Form $T^n$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine \definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{.} Bestimme das \definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{} zu einem Polynom über $\Gamma (X, {\mathcal O}_X )$ für den Fall, dass die \definitionsverweis {holomorphen Funktionen}{}{} konstant sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T^2- \exp z
}
{ \in }{ \Gamma { \left( {\mathbb C} , {\mathcal O}_{ {\mathbb C} } \right) } [T]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist. Skizziere das zugehörige reelle Nullstellengebilde.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Lemma 14.2 (4) unter der schwächeren Bedingung, dass $X$ zusammenhängend ist und dass \mathkor {} {P} {und} {P'} {} keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Resultante}{}{}
von einem quadratischen Polynom
\mathl{aT^2+bT+c}{} und seiner
\definitionsverweis {formalen Ableitung}{}{}
\mathl{2aT+b}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ T^2 +z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
$V$ zu $P$. Bestimme das
\definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{}
und das
\definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ T^2 +zT-z^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
$V$ zu $P$. Bestimme das
\definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{}
und das
\definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ T^2 - (z+z^2)T+z^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $z$ die Variable von ${\mathbb C}$ bezeichne, die Faseranzahl im
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
$V$ zu $P$. Bestimme das
\definitionsverweis {unverzweigte Nullstellengebilde}{}{}
und das
\definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{.}
Ist $P$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{,}
seien
\mathl{a_0 ,a_1 , \ldots , a_{n-1}}{}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
auf $X$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ X \times {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Nullstellengebilde}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{T^n+a_{n-1}T^{n-1} + \cdots + a_1T+a_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $\beta$ eine weitere holomorphe Funktion auf $X$. Es sei $Q$ das Polynom in der neuen Variablen $S$, das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $T$ durch $S- \beta$ ersetzt und sei $W$ das zugehörige Nullstellenmenge zu $Q$.
\aufzaehlungdrei{Stifte eine bijektive Abbildung $\theta$ zwischen
\mathkor {} {V} {und} {W} {,}
die mit den Projektionen nach $X$ verträglich ist.
}{Zeige, dass unter $\theta$ die
\definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{}
ineinander überführt werden.
}{Zeige, dass unter $\theta$ die
\definitionsverweis {glatten Nullstellengebilde}{}{}
ineinander überführt werden und dass darauf $\theta$
\definitionsverweis {biholomorph}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 14.9 die Fortsetzung des \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebildes}{}{} \maabb {} {\tilde{V}} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {} nach ${\mathbb C}$ und nach ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ im Sinne von Satz 14.11.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme in Beispiel 14.10 die Fortsetzung des \definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebildes}{}{} \maabb {} {\tilde{V}} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {} nach ${\mathbb C}$ und nach ${\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C} }$ im Sinne von Satz 14.11.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $P$ ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
über
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} mit dem
\definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{}
$\tilde{V}$ und der zugehörigen Fortsetzung
\maabb {} {Z} {X
} {}
im Sinne von
Satz 14.11.
Zeige, dass das
\definitionsverweis {glatte Nullstellengebilde}{}{}
zu $P$ eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
von $Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ eine
\definitionsverweis {riemannsche Fläche}{}{}
und $P$ ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
über
\mathl{\Gamma (X, {\mathcal O}_X )}{} mit dem
\definitionsverweis {unverzweigten Nullstellengebilde}{}{}
$\tilde{V}$ und der zugehörigen Fortsetzung
\maabb {} {Z} {X
} {}
im Sinne von
Satz 14.11.
Zeige, dass wenn $P$ nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist, dann $Z$ nicht
\definitionsverweis {zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der Situation von Satz 14.11 eine \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} \maabb {p} { Y } {X } {} im Allgemeinen nicht zu einer Überlagerung fortgesetzt werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige in der Situation von
Lemma 14.13,
dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
des Polynoms $w^2-f$ eine riemannsche Fläche in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }$ definiert und die Fortsetzung beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige in der Situation von
Lemma 14.13,
dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Homogenisierung}{}{}
des Polynoms $w^2-f$ keine riemannsche Fläche in ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }$ definiert.
}
{} {}