Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Arbeitsblatt 1

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}[0,1]=\lbrace t\in \mathbb {R} {\text{ mit }}0\leq t\leq 1\rbrace$ das Einheitsintervall. Eine Teilmenge ${}U\subseteq [0,1]$ heißt offen in ${}[0,1]$, wenn es für jeden Punkt ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ gibt mit der Eigenschaft, dass für jedes ${}y\in [0,1]$ mit ${}\vert y-x\vert <\epsilon$ schon ${}y\in U$ gilt. Es sei nun ${}A$ eine Menge und ${}U_{\alpha }\subseteq [0,1]$ offen in ${}[0,1]$ für alle ${}\alpha \in A$. Diskutieren Sie die folgenden Aussagen:

1. Die Vereinigung ${}\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\,$ ist offen in ${}[0,1]$.
2. Der Schnitt ${}\bigcap _{\alpha \in A}U_{\alpha }\,$ ist offen in ${}[0,1]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeigen Sie, dass das Einheitsintervall ${}[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer, in ${}[0,1]$ offener Teilmengen dargestellt werden kann. Man sagt hierzu: ${}[0,1]$ ist zusammenhängend.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweisen Sie den Zwischenwertsatz für reellwertige stetige Funktionen ${}f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$, etwa mit Hilfe von Aufgabe 2 dieses Arbeitsblattes.

Aufgabe (4 Punkte)

Das Möbiusband ${}M$ entsteht aus einem Rechteck durch Verkleben zweier gegenüberliegender Seiten, wobei eine Seite vor dem Verkleben um ${}\pi$ gedreht wird. Der Nullschnitt ${}L\subseteq M$ ist die Mittellinie. Zeige mit Hilfe einer Schere, dass das Komplement des Nullschnittes ${}M\setminus L$ zusammenhängend ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$,

${}D^{n}\colon \!\!={\bigl \lbrace }x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,\colon \,{\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}\leq 1{\bigr \rbrace }\,$

der ${}n$-dimensionale Ball, und

${}\Delta ^{n}\colon \!\!={\bigl \lbrace }x=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}\,\colon \,x_{i}\geq 0{\text{ und }}\sum _{i=0}^{n}x_{i}=1{\bigr \rbrace }\,$

das ${}n$-dimensionale Standardsimplex.

Zeigen Sie, dass ${}D^{2}$ und ${}\Delta ^{2}$ topologisch äquivalent sind.