Der Begriff der topologisch kleinen Potenzen verallgemeinert den Begriff der kleinen Potenzen und den Begriff der topologischen Nullteiler in einer Definition zusammen, wobei die topologische Nullteiler und auch Elemente mit kleinen Potenzen jeweils auch Element mit topologisch kleinen Potenzen sind.
Definition - Topologisch kleine Potenzen
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Sei
eine topologische Algebra und
das System von offenene Mengen auf
. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologisch kleine Potenzen.
Definition: Rechtsseitig topologisch kleine Potenzen
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Man nennt
besitzt rechtsseitige topologisch kleine Potenzen in
(Bezeichnung:
), falls es eine Nullumgebung
gibt, sodass für alle Nullumgebungen
ein
existiert, sodass für alle
gilt:

Definition: Linksseitig topologisch kleine Potenzen
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besitzt linksseitig topologisch kleine Potenzen in
(Bezeichnung:
), ffalls es eine Nullumgebung
gibt, sodass für alle Nullumgebungen
ein
existiert, sodass für alle
gilt:

Definition: topologisch kleine Potenzen
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besitzt topologische kleine Nullteiler (Bezeichnung:
), falls
rechtseitig oder linkseitig topologisch kleine Potenzen besitzt (siehe auch Verallgemeinerungen von topologischen Nullteilern[1]).
Lemma: Topologisch kleine Potenzen und Gaugefunktionale
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Sei
. Ein Element
besitzt genau dann rechtsseitig topologisch kleine Potenz, wenn es ein
gibt, so dass für alle
ein
mit

existiert, so besitzt
topologisch kleine Potenzen (Bezeichnung:
).
Wie man schon bei der Definition der topologischen Nullteiler sehen konnte, ist die Formulierung von topologischen Eigenschaften, die im Zusammenhang mit algebraischen Eigenschaften stehen (z.B. Idealeigenschaft, Invertierbarkeit, ...), über Gaugefunktionale für die Beweisführung in der Regel angenehmer als der Umgang mit offenen Mengen. Daher ist obige Definition über offene Mengen und Nullumgebungen ebenfalls in eine äquivalente Formulierung über angegeben werden.
Beweisen Sie die Äquivalenz der
-Aussage über offene Mengen und Gaugefunktionale!
Sei
und
gegeben. Wenn es ein
gibt, so dass für alle
ein
mit

existiert, so ist
ein
-singuläres Element.
Bemerkung - Negation der Singularitätbedingung
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Der obige Satz zeigt, dass Elemente
immer
-singulär sind. Der Beweis wird für die Kontraposition der obigen Aussage geführt, indem man annimmt, dass ein Element
ein
-reguläres Element ist, und dann
gilt und die folgende Ungleichung liefert.
Regularitätsbedinung als Negation der TKP-Eigenschaft
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Insgesamt erhält man mit
die Aussage, dass es für alle
ein
und Konstanten
gibt, sodass für alle
gilt (siehe PC-Regularität):

Beweis - Satz TKP-Eigenschaft Gaugefunktionale
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Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein
invertierbar ist.
Diese Regularitätsbedingung wird im weiteren Verlauf noch besondere Bedeutung besitzen, denn diese liefert eine allgemeinere Klassifizierung von permanenten Idealen aus geeignet gewählten Elementen mit dieser Eigenschaft. Deshalb wird die Eigenschaft der topologisch kleinen Potenzen definiert.
Sei
, dann besteht die Menge

aus
-singulären Elementen.
Der Beweis zur obigen Aussage wurde von Zelazko (1983) [2] über permanente Radikale in kommutativen lokalkonvexen Algebren formuliert. Der angegebene Beweis des Satzes über Gaugefunktionale soll zeigen, dass Elementen
in sogar in beliebigen topologischen Algebren permanent singuläre Elemente sind.
Sei
, dann gilt:

Welche Voraussetzungen müssen für die Topologie gelten, damit

erfüllt ist? Welche Klassen von Algebren erfüllen die Bedingung
?
Für lokalbeschränkte Algebren, also insbesondere Banachalgebren, erhält
man die Gleichung
, denn für
gilt:

Siehe Satz zur Charakterisierung von
-regulärem Elementen.
Bemerkung: Resultat basieren auf dem Konzept von permanenten Radikalen
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Der Satz über Summen
- von Elementen mit kleine Potenzen und
- topologische Nullteiler
wurde bereits von Zelazko (1983)[3] formuliert. Der Beweis wurde dort aber nur für kommutative lokalkonvexe Algebren geführt und erforderte in dem Artikel Ergebnisse aus der Theorie über permanente Radikale. Der oben angegebene
Beweis zeigt, dass die von Zelazko bewiesene Formulierung der Summen von Elementen aus
bzw.
auch für topologische Algebren allgemein über Gaugefunktionale bewiesen werden kann.
Bemerkung: Dreiecksungleichung in lokalkonvexen Räumen
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Der von Zelazko geführte Beweis für kommuntative lokalkonvexe Algebren, kann auch vereinfacht werden, wenn man die folgende Subadditivität von
-Funktionalen ausnutzt, wie z.B.

- Formulieren Sie den obigen Satz in
bzw.
-Algebren für Halbnormen bzw. Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
- Formulieren Sie den obigen Satz in
bzw.
-Algebren für submultiplative Halbnormen bzw. submultiplative Quasihalbormen und erläutern Sie, wie sich die Abschätzung vereinfachen.
- Betrachten Sie das Vorgehen im Beweis und analysieren Sie, welche Bedeutung die Kommuntativität hat. Kann man den Beweis ebenfalls ohne die von Zelazko verlangte Kommuntativität<ref name="LCsingZelazko"> der Multiplikation führen?
Bemerkung: K-reguläre Elemente und TKP-Eigenschaft
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Wenn ein Element
topologisch kleine Potenzen besitzt ist es permanent singulär in jeder
-Erweiterung der gegebenen Algebra
und umgekehrt kann
-reguläres Element
, das in einer
-Algebraerweiterung
invertierbar ist, keine topologisch kleinen Potenzen besitzen. Kernfrage ist, ob ein Element, das keine topologisch kleinen Potenzen besitzt, dann auch in einer
-regulär ist.
Satz: Stetigkeitssequenzen K-Regularität
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Sei
und
, dann gibt es für alle
, ein
, eine Folge
von Gaugefunktionalen mit Konstanten
mit
, für die folgende Bedingungen gelten:
- (SK1)
für alle
und
,
- (SK2)
für alle
und
.
Der Beweise des Satzes über Stetigkeitssequenzen bei K-Regularität erfolgt wieder über die Kontraposition, dass man annimmt, dass ein Element
-regulär ist.
Die obige Aussage ist sogar äquivalent zur
-Regularität in kommutativen lokalkonvexe Algebren. Der Beweis des Satzes erfolgt analog zum Satz, der die TKP-Eigenschaft über Gaugefunktionale charakterisiert.
Für alle
gibt es wegen der Stetigkeit der Multiplikation ein
mit

Zu
existieren aufgrund der Eigenschaft von
, topologisch große Potenzen zu besitzen, ein
mit

und positiven Konstanten
.
Setzt man
, dann ist
eine antitone Folge von (nicht notwendigerweise unitalen) Teilalgebren von
.
Auf den Vielfachenmengen
von Potenzen
werden mit
für
,
und
folgende Abbildungen definiert:

Zur Wohldefiniertheit der Abbildung: Da
keine topologisch kleinen
Potenzen besitzt, ist
wegen
auch kein Nullteiler in
. Daher kann man für jedes
und jedes
genau ein
finden mit
.
Ferner sei
eine isotone Folge mit

Mit der Definition der
ist auch
eine isotone Folge.
Für
und
gilt:

und

Abschätzung Gaugefunktionaleigenschaft
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Es bleibt noch zu zeigen, dass man das Gaugefunktional
zu einem Gaugefunktional
mit den geforderten Eigenschaften (SK1) und (SK2) auf ganz
erweitern kann. Man definiert Abbildungen
mit

Erweiterung von der Vielfachenmenge auf die Algebra
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Nun wird mit der Abbildung
das Gaugefunktional
für
wie folgt definiert:

Da
für alle
, erhält man mit
auch die Ungleichung
.
Ferner können die Gaugefunktionale
durch ein Gaugefunktional
mit positiven Konstanten
beschränkt werden, denn mit
gilt:

Die Abschätzung
für
überträgt sich auch auf die erweiterten Funktionale, denn man erhält mit
und

Insgesamt ergeben sich die Behauptungen (SK1) und (SK2) für die Gaugefunktionalsequenz.
Die Bedingungen (SK1) und (SK2) aus Satz über
-reguläre Elemente kann man für ein
-reguläres Element
auch unmittelbar erhalten.
Satz: TKP und K-Regularitätseigenschaften
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Sei
und ein
-reguläres Element
gegeben, dann gibt es zu jedem
eine Folge
von
-Funktionalen mit Konstanten
,
und ein
mit
für alle
und
,
für alle
,
.
Durch geeignet gewählte Vielfache der
-Funktionale erhält man
ebenfalls die bereits bekannten Abschätzungen
und
.
Sei
und ein
-reguläres Element
gegeben, dann gibt es zu jedem
eine Folge
von
-Funktionalen mit Konstanten
und ein
mit
für alle
und
,
für alle
,
.
- ↑ Zelazko, Wiezlaw (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986
- ↑ Zelazko Wieslaw, On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 (1983), S. 265-272
- ↑ Zelazko Wieslaw, (1983), On permanent radicals in commutative locally convex algebras, Studia Math. 75 S. 265-272
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