Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte

Lemma - Kaskadenprodukte

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine unital positive topologische Algebra mit dem basiserzeugenden $p$-Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$, dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$, die folgende Eigenschaften besitzt:

• (KM1) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ mit $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }$
• (KM2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \prod _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)}$

Beweis - Kaskadensummen

Für den Beweis verwendet man Ungleichungen für die Stetigkeit der Multiplikation für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren. Der Beweis erfolgt in 3 Teilen

• Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert und man setzt $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,0)}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }$.
• (K1) Isotonie der Stetigkeitssequenzen
• (K2) Beweis der Kaskadenungleichung der Multiplkation

Beweis 1 - Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Stetigkeitssequenzen kann man analog zu den Kaskadensummen über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem $p$-Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta }$, ein $M_{\beta }\geq 1$ mit

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}$

Für die Stetigkeitskonstanten $M_{\beta _{1}}$ der Multiplkation bei einem basiserzeugenden $p$-Gaugefunktional gilt zunächst einmal $M_{\beta _{1}}>0$. Ohne Einschränkung kann aber $M_{\beta _{1}}\geq 1$ gewählt werden.

Beweis 2 - Stetigkeit der Multiplikation

Die induktive Definition der Stetigkeitssequenz kann erfolgt pro Index $k\in \mathbb {N}$ über zweifach über die Stetigkeit der Multiplikation erzeugen und zu jedem $p$-Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ gibt es ein $p$-Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\beta _{1}}$ und ein $M_{\beta _{1}}\geq \max\{1,\|e_{_{A}}\|_{\beta _{1}}\}$ mit

$\|x\cdot y\|_{\alpha }\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}\leq M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \underbrace {M_{\beta _{1}}} _{\geq 1}\cdot \|y\|_{\beta _{1}}$

für alle $x,y\in A$. Zu $\beta _{1}\in {\mathcal {A}}$ gilt es wieder ein $p$-Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\gamma _{1}}$ mit

$\|x\cdot y\|_{\beta _{1}}\leq M_{\gamma _{1}}\cdot \|x\|_{\gamma _{1}}\cdot \|y\|_{\gamma _{1}}$

für alle $x,y\in A$ und $M_{\gamma _{1}}\geq \max \left\{\|e_{_{A}}\|_{\beta _{1}},\|e_{_{A}}\|_{\gamma _{1}},M_{\beta _{1}},1\right\}$.

Beweis 3 - Definition des p-Gaugefunktionals

Man kann ohne Einschränkung $M_{\gamma _{1}}\geq \max \left\{\|e_{_{A}}\|_{\beta _{1}},\|e_{_{A}}\|_{\gamma _{1}},M_{\beta _{1}},1\right\}$ wählen und definiert nun das p-Gaugefunktional als

$\|x\|_{(\alpha ,1)}:={M_{\beta _{1}}}^{2}\cdot {M_{\gamma _{1}}}^{2}\cdot \|x\|_{\gamma _{1}}$

für alle $x\in A$.

Beweis 3 - Neutrales Element der Multiplikation

Ohne Einschränkung sei ferner $M_{\beta _{1}}\geq \underbrace {\|e_{A}\|_{\beta _{1}}} _{>0}$ gewählt werden und man erhält:

${\begin{array}{rcl}\|x\|_{\alpha }&\leq &M_{\beta _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\cdot \underbrace {\|e_{_{A}}\|_{\beta _{1}}} _{\leq M_{\beta _{1}}}\leq {M_{\beta _{1}}}^{2}\cdot M_{\gamma _{1}}\cdot \|x\|_{\beta _{1}}\\&\leq &{M_{\beta _{1}}}^{2}\cdot M_{\gamma _{1}}\cdot \|x\|_{\gamma _{1}}\cdot \underbrace {\|e_{_{A}}\|_{\gamma _{1}}} _{\leq M_{\gamma _{1}}}=\left\|x\right\|_{(\alpha ,1)}\\\end{array}}$

Mit der Definition von $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:={M_{\beta _{1}}}^{2}\cdot {M_{\gamma _{1}}}^{2}\cdot \|\cdot \|_{\gamma _{1}}$ gilt das letzte Gleichheitszeichen und die Isotonie.

Beweis 4 - Induktive Definition der Stetigkeitssequenz

Man wendet nun Definition $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}$ auf das Produkt an und man erhält die folgende Ungleichung gilt:

${\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\alpha }&\leq &M_{\beta _{k}}\cdot \underbrace {\|x_{1}\cdot y_{1}\|_{\beta _{1}}} _{M_{\gamma _{1}}\cdot \|x_{1}\|_{\gamma _{1}}\cdot \|y_{1}\|_{\gamma _{1}}}\cdot \underbrace {\left\|\displaystyle \prod _{i=2}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\beta _{1}}} _{M_{\gamma _{1}}\cdot \|x_{2}\cdot y_{2}\|_{\gamma _{1}}\cdot \left\|\prod _{i=3}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\gamma _{1}}}\\&\leq &\|x_{1}\|_{(\alpha ,1)}\cdot \|y_{1}\|_{(\alpha ,1)}\cdot \|x_{2}\cdot y_{2}\|_{(\alpha ,1)}\cdot \left\|\displaystyle \prod _{i=3}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{(\alpha ,1)}\\\end{array}}$

Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation

Sei nun $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}$ gegeben. Mit der Stetigkeit der Multiplikation kann man wieder zu diesem $p$-Gaugefunktional $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}$ wieder ein $\|\cdot \|_{\beta _{k}}$ mit einer Konstante $M_{\beta _{k}}\geq \max\{1,\|e_{_{A}}\|_{\beta _{k}}\}$ finden, für das mit $\beta _{k}\in {\mathcal {A}}$ für alle $x,y\in A$ gilt:

$\left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq M_{\beta _{k}}\cdot \|x\|_{\beta _{k}}\cdot \|y\|_{\beta _{k}}$

Man definiert nun $\left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}:={M_{\beta _{k}}}^{2}\cdot \|x\|_{\beta _{k}}$ für alle $x\in A$.

Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation

Mit der Wahl von $M_{\beta _{k}}\geq 1$ folgt u.a. ${M_{\beta _{k}}}^{2}\geq M_{\beta _{k}}\geq 1$ und man kann das Produkt wie folgt abschätzen:

${\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\alpha }\!\!\!\!\!&\leq &\displaystyle \prod _{i=1}^{k}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}\cdot \|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)\cdot \\&&\cdot \,\underbrace {\|x_{k+1}\cdot y_{k+1}\|_{(\alpha ,k)}} _{\leq M_{\beta _{k}}\cdot \|x_{k+1}\|_{\beta _{k}}\cdot \|y_{k+1}\|_{\beta _{k}}}\cdot \left\|\displaystyle \prod _{i=k+2}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{(\alpha ,k)}\\&\leq &\displaystyle \prod _{i=1}^{k+1}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}\cdot \|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)\cdot \\&&\cdot \,M_{\beta _{k}}\cdot \|x_{k+2}\cdot y_{k+2}\|_{\beta _{k}}\cdot \left\|\displaystyle \prod _{i=k+3}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\beta _{k}}\\\end{array}}$

Beweis 6 - Stetigkeit der Multiplikation

Durch eine weitere Abschätzung ${M_{\beta _{k}}}^{2}\geq M_{\beta _{k}}\geq 1$ und der Definition von $\|\cdot \|_{(\alpha ,k)}$ erhält man:

${\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\alpha }\!\!\!\!\!&\leq &\displaystyle \prod _{i=1}^{k+1}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}\cdot \|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)\cdot \\&&\cdot \,M_{\beta _{k}}\cdot \|x_{k+2}\cdot y_{k+2}\|_{\beta _{k}}\cdot \left\|\displaystyle \prod _{i=k+3}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{\beta _{k}}\\&\leq &\displaystyle \prod _{i=1}^{k+1}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}\cdot \|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)\cdot \\&&\cdot \,\|x_{k+2}\cdot y_{k+2}\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|\displaystyle \prod _{i=k+3}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\right\|_{(\alpha ,k+1)}\\\end{array}}$

Beweis 8 - (K1) - Isotonie der Stetigkeitssequenz

Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. $\|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}$), denn für alle $x\in A$ gilt:

${\begin{array}{rcl}\|x\|_{(\alpha ,k)}&\leq &M_{\beta _{k}}\cdot \|x\|_{\beta _{k}}\cdot \underbrace {\|e_{A}\|_{\beta _{k}}} _{\leq M_{\beta _{k}}}\\&\leq &\underbrace {{M_{\beta _{k}}}^{2}\cdot \|x\|_{\gamma _{k}}} _{=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}\end{array}}$

Beweis 9 - (K2) - Kaskadenungleichung

Insgesamt erhält man die Stetigkeitssequenz die Stetigkeitssequenz für beliebig große $n\in \mathbb {N}$ induktiv und es gilt die Kaskadenungleichung:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\cdot \left\|\prod _{k=2}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \prod _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)\cdot \left\|\prod _{k=3}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}$

Kaskadenungleichung für Summen und Produkte

Verbinden Sie die Kaskadenungleichung für Prodkukte mit der Kaskadenungleichung für Summen.

Korrolar - Kaskadensequenz

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine unital positive topologische Algebra mit dem basiserzeugenden $p$-Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$, dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,m)}\right)_{m\in \mathbb {N} _{0}}}$, die ,mit $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$ folgende Eigenschaften besitzt:

• (K1) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$
• (K2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}$
• (K3) ${\textstyle \displaystyle \left\|\prod _{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \prod _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\cdot \left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}$

Beweisaufgabe für Studierende

Beweisen Sie die obige Abschätzung im Korrolar, indem Sie die induktive Definition im Lemma über Kaskadenprodukte mit dem Lemma über Kaskadensummen verbinden und die induktive Definition für beide Kaskadenungleichungen vornehmen.

Siehe auch

• Lemma - Kaskadensummen

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