Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen

Einführung

Im Gegensatz zu Dreiecksungleichungen bei Halbnormen, $p$ -Halbnormen oder der Subadditivität mit Stetigkeitskonstante der Addition bei Quasihalbnormen kann man im Allgemeinen bei mehreren Summanden bei topologischen Algebren für mehrere Summanden in einer Addition nicht notwendig das gleiche Gaugefunktional unabhängig von der Anzahl der Summanden wählen. Das Kaskaden-Lemma für Summen ist notwendig, um für die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation und eine unterschiedliche Anzahl der Summanden ein Abschätzung zu erhalten, die die Cauchy-Multiplikation stetig auf der Polynomalgebra macht.

Kaskadierende Summe mit Gaugefunktionalen

Lemma - Kaskadensummen

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden $p$ -Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ , dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ , die folgende Eigenschaften besitzt:

(KA1) ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für $k\in \{1,\ldots ,n-1\}$ und $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$
(KA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{\alpha }\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)}$

Beweis - Kaskadensummen

Für den Beweis verwendet man Ungleichung für die Stetigkeit der Addition für ein basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem aus dem Topologisierungslemma für Algebren. Der Beweis gliedert sich in 3 Teile:

Stetigkeitssequenz wird induktiv definiert und sei $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$ ,
(KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz
(KA2) Kaskadenungleichung

Beweis 1 - Stetigkeit der Addition

Mit der Stetigkeitssequenzen der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\alpha }$ ein $\|\cdot \|_{\beta _{1}}$ mit

\|x+y\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta _{1}}+\|y\|_{\beta _{1}}

für alle $x,y\in A$ . Zu $_{\beta _{1}}\in {\mathcal {A}}$ gilt es wieder ein $p$ -Gaugefunktional $\|\cdot \|_{\gamma }$ mit

\|x+y\|_{\beta _{1}}\leq \|x\|_{\gamma _{1}}+\|y\|_{\gamma _{1}}

für alle $x,y\in A$ . Man definiert nun $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,1)}:=\|\cdot \|_{\gamma _{1}}$ .

Beweis 2 - Stetigkeit der Addition

Angewendet auf die Summe $x_{1}+y_{1}+\sum _{k=2}^{n}(x_{k}+y_{k})$ mit $k=1$ ergibt sich.

{\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,0)}&\leq &\|x_{1}+y_{1}\|_{\beta _{1}}+\left\|\displaystyle \sum _{i=2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{\beta _{1}}\\&=&\|x_{1}\|_{(\alpha ,1)}+\|y_{1}\|_{(\alpha ,1)}+\\&&+\,\|x_{2}+y_{2}\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\displaystyle \sum _{i=3}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,1)}\\\end{array}}

Beweis 3 - Stetigkeit der Addition

Ist nun $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}$ gegeben, so kann man wieder zu diesem $p$ -Gaugefunktional $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k)}$ wieder $\|\cdot \|_{\beta _{k}}$ finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

$\|x+y\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{\beta _{k}}+\|x\|_{\beta _{k}}$ für alle $x,y\in A$
Man definiert nun $\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,k+1)}:=\|\cdot \|_{\beta _{k}}$

Beweis 4 - Induktive Abschätzung der Summen

Mit der obigen Konstruktion erweitern man nun die Summen von $k$ auf $k+1$ und das Gaugefunktional $\|\cdot \|_{(\alpha ,k)}$ bereits induktiv definiert. Angewendet auf die Summe $\sum _{i=1}^{k}(x_{i}+y_{i})+(x_{i}+y_{i})+\sum _{i=k+2}^{n}(x_{i}+y_{i})$ ergibt sich.

{\begin{array}{rcl}\left\|\displaystyle \sum _{i=2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}+\|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)+\\&&+\,\underbrace {\|x_{k+1}+y_{k+1}\|_{(\alpha ,k)}} _{\leq \|x_{k+1}\|_{(\alpha ,k+1)}+\|y_{k+1}\|_{(\alpha ,k+1)}}+\left\|\displaystyle \sum _{i=k+2}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,k)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{i=1}^{k+1}\left(\|x_{i}\|_{(\alpha ,i)}+\|y_{i}\|_{(\alpha ,i)}\right)+\\&&+\,\|x_{k+2}+y_{k+2}\|_{(\alpha ,k+1)}+\left\|\displaystyle \sum _{i=k+3}^{n}(x_{i}+y_{i})\right\|_{(\alpha ,k)}\\\end{array}}

Beweis 5 - (KA1) Isotonie der Stetigkeitssequenz

Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen ist isoton (d.h. $\|\cdot \|_{(\alpha ,k)}\leq \|\cdot \|_{(\alpha ,k+1)}$ ), denn für alle $x\in A$ gilt:

\|x\|_{(\alpha ,k)}=\|x+0_{A}\|_{(\alpha ,k)}\leq \|x\|_{(\alpha ,k+1)}+\underbrace {\|0\|_{(\alpha ,k+1)}} _{=0}=\|x\|_{(\alpha ,k+1)}

Beweis 6 - (KA2) - Kaskadenungleichung

Die Stetigkeitssequenz von Gaugefunktionalen wird schrittweise für 3 Summanden angewendet:

{\begin{array}{rcl}\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}(x_{k}+y_{k})\right\|_{\alpha }&\leq &\displaystyle \left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}+\left\|\sum _{k=2}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,1)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\right)+\left\|\sum _{k=3}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,2)}\\&\leq &\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,k)}\right)\end{array}}

Insgesamt folgt die Behauptung. $\Box$

Korollar 1 - Kaskadensummen

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden $p$ -Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ , dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ , die folgende Eigenschaften besitzt:

(KA1) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für $k\in \mathbb {N} _{o}$ und $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$
(KA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}+y_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left(\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}+\left\|y_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}\right)}$ für alle $m\in \mathbb {N} _{o}$ .

Korollar 2 - Kaskadensumme

Sei $(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ eine topologische Algebra mit dem basiserzeugenden $p$ -Gaugefunktionalsystem $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ , dann gibt es für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ eine isotone Stetigkeitssequenz ${\textstyle \left(\left\|\cdot \right\|_{(\alpha ,n)}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ , die folgende Eigenschaften besitzt:

(SA1) ${\textstyle \left\|x\cdot y\right\|_{(\alpha ,k)}\leq \left\|x\right\|_{(\alpha ,k+1)}\cdot \left\|y\right\|_{(\alpha ,k+1)}}$ für $k\in \mathbb {N} _{o}$ und $\|\cdot \|_{(\alpha ,0)}:=\|\cdot \|_{\alpha }$
(SA2) ${\textstyle \displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}x_{k}\right\|_{(\alpha ,m)}\leq \sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|_{(\alpha ,m+k)}}$

Bemerkung - Korollare Kaskadenlemma

Das Korollar 2 erhält man unmittelbar aus Korollar 1 durch Setzung von $y_{k}=0_{A}$ .

Beweisaufgabe für Studierende

Beweisen Sie das Korollar 1 unter Verwendung der Lemmas über Kaskadensummen und über die Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra (siehe Topologisierungslemma für Algebren)

Siehe auch

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