Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra

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Einführung[Bearbeiten]

Eine Polynomalgebra ist ein Vektorraum von Polynomen, wobei die Koeffizienten aus der gegebenen Algebra stammmen. Die Polynomalgebra ist ein wesentliches Hilfsmittel, um eine Algebraerweiterung von zu konstruieren, in denen ein gegebenes invertierbar ist, wenn es bestimmte topologische Invertierbarkeitskriterien erfüllt.

Bemerkung: Algebraerweiterung[Bearbeiten]

Bei der Konstruktion der Algebraerweiterung, in der ein invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die Algebra der Polynome betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die Algebraerweiterung über die Polynomalgebra konstruiert wird.

Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A

Algebraischer Abschluss[Bearbeiten]

Wir erweitern nur die Algebra um ein zusätzliches Element enthält, das in einer Algebraerweiterung von enthalten sein soll. Da die Multiplikation und die Addition in abgeschlossen sein müssen, daher müssen Polynome in mit Koeffizienten ebenfalls in der Algebraerweiterung enthalten sein.

Erweiterung der Algebra[Bearbeiten]

Dies beinhaltet die Abgeschlossenheit der

  • multiplikative Verknüpfung von mit sich selbst und daher müssen auch mit wieder in liegen,
  • die beliebige multiplikative Verknüpfungen von mit Elementen aus wieder in liegen, d.h. liegen.
  • der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass additive Verknüpfungen aus wieder in liegen.

Polynome mit Koeffizienten aus der gegebenen Algebra[Bearbeiten]

Aus dieser Notwendigkeit betrachtet man Polynome mit Koeffizienten aus als ersten Schritt, um eine Algebraerweiterung zu konstruieren, in der ein invertierbar sein kann.

Polynomalgebra[Bearbeiten]

Wir betrachten nun zu einer gegeben topologischen Algebra die Menge der Polynome mit Koeffizienten in .

und Potenzreihen mit Koeffizienten in der Algebra

Grad von Polynomen[Bearbeiten]

Zunächst einmal würde man Polynome formal eher in der obigen Form mit notieren und mit würde den Grad des Polynoms angeben. Für das Cauchyprodukt von zwei Polynomen ist diese Schreibweise allerdings ungeeignet, da bei der Addition und Multiplikation zwei Polynomen die Handhabung des Grades zusätzlichen formalen Aufwand nach sich zieht, der aber für die weitern Betrachtungen von Algebraerweiterungen keine Rolle spielt.

Schreibweise für die Polynomalgebra[Bearbeiten]

Daher werden die Polynome wie folgt über "endliche" Folgen definiert, die ab einer Indexschranke nur noch aus dem Nullvektor in besteht.

Cauchy-Produkt[Bearbeiten]

Gegeben sind allgemein zwei Polynome mit Koeffizienten aus .

Dann wird Cauchy-Produkt von wie folgt definiert:

Bemerkung: Cauchy-Produkt[Bearbeiten]

Betrachtet man Polynome oder mit reellen oder komplexwertigen Koeffizienten, so fasst das Cauchy-Produkt durch Anwendung vom Distributivgesetz, Assoziativgesetz und die Kommunitivtät der Addition die Terme bzgl. , die bei der Multiplikation den Exponenten liefert, also:

Die dazu verwendeten algebraischen Operationen sind auch auf eine (topologische) Algebra übertragbar.

Bemerkung: Kommuntativtät Koeffizienten[Bearbeiten]

In einer Algebra kann die Kommutativität nicht für die Koeffizienten der Polynome vorausgesetzt werden. Betrachten Sie dazu die Polynomalgebra mit Koeffizienten aus mit der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf .

Aufgabe für Lernende[Bearbeiten]

  • Betrachten Sie Konvexkombinationen der 3. Ordnung und erläutern Sie, warum diese mit Polynome mit Koeffizient im darstellen, wobei hier der Definitionsbereich von in der Anwendung auf ein Interval konkret beschränkt wird.
  • Betrachten Sie die Algebra der Matrizen über dem Körper und der Matrixmultiplikation als multiplikative Verknüpfung auf .

Siehe auch[Bearbeiten]

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