Für den multiplikativen algebraischen Abschluss einer Algebra
, die ein zusätzliches Element
enthält, müssen auch
- multiplikative Verknüpfung mit sich wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch
mit
, wobei
definiert wird) und auch
- die beliebige multiplikative Verknüpfungen von
mit Elementen aus, d.h.
wieder in
liegen.
- der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass Polynome mit Koeffizienten aus
als algebraischer Abschluss entsteht.
Mit einem System aus topologieerzeugenden Gaugefunktionalen kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren.
Sei
die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in
der Form

Die Notation von
kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig.
definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra
.
Potenzreihe als Folge von Partialsummen
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Für ein feste
fasst man
als Folge der Partialsummen auf

wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen
als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

Ein Element
kann mit dem konstanten Polynom
identifiziert werden.
Seien zwei Potenzreihen
gegeben mit:

Die Gleichheit von Potenzreihen
wird über die Koeffizientengleichheit definiert:

Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder
für alle
aus dem Definitionsbereich
.
Verwendet man z.B. den Restklassenring
modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom

vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von
und
. Dennoch gilt für alle
die Bedingung
.
Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von
ist.
Sei
eine Algebra und
die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in
. Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen
definiert, wird dann mit
bezeichnet man mit
den topologischen Abschluss der Polynomalgebra
. bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe
. Dabei geören alle
zu
, wenn folgende Bedingung gilt
für alle
.
Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra
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Sei
eine topologische Algebra der Klasse
.
Ferner sei zu jedem
und
eine positive Konstante
und ein
-Funktional
gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw.
-Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller
Potenzreihen mit Koeffizienten in
definiert werden:

Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem
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Mit
bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von
bzgl.
, d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in
, die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen:

Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung
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Die Potenzreihenalgebra
wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf
abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung
die Algebra
in
einbetten kann. D.h. die unitale Algebra
aus einer Klasse
wird in die Algebraerweiterung
durch einen Algebraisomorphismus
eingebettet:
, wobei
ist das Einselement von
und
das Einselement von
ist.
ist homöomorph zu
; d.h.
und
sind stetig.
Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus
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Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung
von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf
und der von
auf
induzierten Relativtopologie nachgewiesen.
Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen
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Sei
und es seien
isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit
Koeffizienten
, für die gelten:
für alle 
für alle
und 
für alle
und 
für alle
und
.
Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra
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Auf
seien folgende vier Systeme
,
,
,
von Gaugefunktionalen für
definiert:
Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme
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Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf
die gleiche
Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen
für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen
,\dots ,
.
das gleiche Teilsystem
offener Mengen der Topologie
.
Es gilt für alle
,
und
folgende Ungleichungskette:

Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes
, also auch die
Ausgangstopologie überein. q.e.d.
Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen
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Die Koeffizienten der Elemente von
kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in
mit
definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in
nicht notwendig konvergieren.
Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1
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![{\displaystyle {\begin{array}{rll}p(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}&,&q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\in A[t]\\&&{\mbox{ mit }}p^{\downarrow m}(t)=q^{\downarrow m}(t){\mbox{ }}\forall t\in \mathbb {K} \\&\Longrightarrow &0_{A}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(p_{k}-q_{k})t^{k}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38725a47c3192b7175cc89e8073d506f33154dc4)
Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2
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Da
ein Hausdorffraum ist, gilt auch
für alle
.
Sei
eine Algebra und
die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in
mit
Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad
einer
Potenzreihe
ist folgendes Polynom:

Sei
eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet
das System der Partialsummenfunktionale von
die mit

Die durch
erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von
auf
.
Die Partialsummentopologie ist gröber als die von
erzeugte Ausgangstopologie, denn
für
gilt:

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die
einzelnen Gaugefunktionale aus
mit den
Projektionen
auf die ersten
Summanden des Polynoms verkettet und als
topologieerzeugende Funktionale auf
wählt.
sei dabei
beliebig gewählt.
Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen
Elementen
durch
und einer zu
gewählten formalen Potenzreihe
.
In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von
Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra
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Gegeben sind die beiden Matrizen

mit dem Einselement
in der Algebra
.
ist mit der Norm

ein normierter Raum.
- Zeigen Sie, dass die Potenzreihe
und der Norm
nicht in
liegt.
- Berechnen Sie
und
mit
bzw. den oben definierten Koeffizienten in
.
- Berechnen Sie für die Potenzreihe
mit
die Matrix
!
Raum der reellwertigen stetigen Funktionen
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Wir betrachten Definitionsbereiches
, der die Algebra
der stetigen Funktionen von
nach
mit den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
![{\displaystyle \|f\|_{n}:=\displaystyle \max _{x\in [-n,+n]}|f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364f54b46c4429f921682b8498a86c67594b40f9)
wird
zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.
- Topologisieren Sie die Polynomalgebra
mit einem Halbnormensystem
, das Sie mit
definieren.
.
- Hinweis: wählen Sie für die
z.B. eine geometrische Reihe
- Zeigen Sie, dass die Halbnormen
submultiplikativ sind, d.h.
!
- Wählen Sie die Koeffizienten
so, dass das Polynom
mit
für alle
ein Element von der Potenzreihenalgebra
ist. Das Polynom
ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten
die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B.
und berechnen Sie
für alle
. Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge
allgemein besitzen, damit
für alle
liefert, also für alle
einen endlichen Wert der Halbnormen leifert.
- Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine
eine geometrische Reihe mit
und
und zeigen Sie, dass

- mit dem Cauchy-Produkt auf
erfüllt ist.
Sei
eine unitale Algebra mit Einselement
und
beliebig gewählt.
ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt:
![{\displaystyle \forall _{\displaystyle p\in A^{\infty }[t]}\exists _{\displaystyle {\widehat {p}}\in A^{\infty }[t]}\,:\,p(t)=(z\cdot t-e)\cdot {\widehat {p}}(t)(\ast )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d85ce2785ddfe74dc94d2ab610ede2d6758a82)
ist zu jedem
eindeutig bestimmt.
ist ein unitaler Ring und
mit
. Wir zeigen nun, dass
invertierbar ist.
Man definiert zunächst über das gegebene
ein Polynom
mit:

Wir berechnen nun
über

Damit definiert man
.
Eindeutigkeit von
: Seien
gegeben, die die Eigenschaft
besitzen. Für
erhält man:

q.e.d.
Die Koeffizienten der Elemente von
sind eindeutig bestimmt, denn sei:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}p(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}&,&q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\in A[t]{\mbox{ mit }}p(t)=q(t)\\&\Longrightarrow &0\equiv \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(p_{k}-q_{k})t^{k}\\&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}};n\in \mathbb {N} }:0=\left\|\!\left|p-q\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N} }:\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}=0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/317f490ed55f5e4667a287a06a8d555c069390d3)
Da
ein Hausdorffraum ist, gilt auch
für alle
.
Die Partialsummentopologie ist gröber als die von
erzeugte Ausgangstopologie, denn für
gilt:

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die
einzelnen Gaugefunktionale aus
mit den
Projektionen
auf die ersten
Summanden des Polynoms verkettet und als
topologieerzeugende Funktionale auf
wählt.
sei dabei
beliebig gewählt.
Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen
Elementen
durch
und einer zu
gewählten formalen Potenzreihe
.
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