Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra

Einführung

Potenzreihen sind aus der Analysis oder Funktionentheorie bekannt. Im allgemeinen Fall betrachtet man Potenzreihe $p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$ mit Koeffizienten in $A$. Dabei kann man formale Potenzreihen $p$ als einen Folgenraum in $A$ betrachten oder den Raum der Potenzreihen neben algebraischen Verknüfungen wie der Multiplikation auf topologisch untersuchen. Diese Lerneinheit führt in die Grundstruktur der Potenzreihenalgebren ein.

Algebraischer Abschluss der Verknüpfungen

Für die Wohldefiniertheit von $p(t)$ für ein $t$ muss die Verknüpfung $p_{k}\cdot t^{k}$ wohldefiniert sein. Dazu muss dann gelten:

• (1) multiplikative Verknüpfungen von $t$ mit sich sind wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch $t^{n}\in A[t]$ mit $n\in \mathbb {N} _{o}$, wobei $t^{0}:=e$ definiert wird) und auch
• (2) beliebige multiplikative Verknüpfungen von $t^{n}\in A[t]$ mit Elementen $p_{k}\in A$ sind wohldefiniert, d.h. $a\cdot t^{n}\in A[t]$ wieder in $A[t]$ liegen.
• (3) die endliche additive algebraische Verknüpfung der $p_{k}\cdot t^{k}$ in $A$ liefert schließlich Polynome mit Koeffizienten aus $A$.

Topogischer Abschluss der Verknüpfungen und Polynomalgebra

Mit dem algebraischen Abschluss entstehen zunächst nur Polynome in $A$. Für die Reihenbetrachtung $p(t)$ für ein bestimmtes $t$ muss man die Konvergenz der Reihe für ein $t$ überprüfen können. Dazu benötigt die Algebra $A$ zusätzlich eine Topologie ${\mathcal {T}}_{A}$. Erst dann kann man Grenzwertprozesse in $A$ und damit die Konvergenz der Partialsummen gegen den Grenzwert der Reihe überprüfen. Die Topologie ${\mathcal {T}}_{A}$ auf $A$ muss dabei von der Topologie Topologie ${\mathcal {T}}$ auf der Potenzreihenalgebra selbst unterschieden werden. Mit einem System aus topologieerzeugenden Gaugefunktionalen kann man dann einen topologischen Abschluss der Polynomalgebra definieren.

Definition: Potenzreihen

Sei $A$ eine Algebra über dem Körper $\mathbb {K}$ und $(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in A^{\mathbb {N} _{0}}$ ein Folge in der Algebra $A$ (d.h. $p_{k}\in A$ für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$). Eine Potenzreihe mit Koeffizienten in $A$ hat die Form:

$$p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}$$

Bemerkung - Konvergenz der Potenzreihe

Die Notation von $\sum _{k=0}^{\infty }\ldots$ kann dabei nichts über die Konvergenz einer Reihe aussagen, denn dazu ist eine Topologisierung der Algebra notwendig. ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ definiert rein algebraisch eine Potenzreihe mit beliebigen Koeffizienten aus der Algebra $A$.

Bemerkung 1 - Potenzreihen mit Koeffizienten im Körper

Im einfachsten Fall betrachtet man i.d.R. Potenzreihen mit Koeffizienten in $A:=\mathbb {K}$ mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\,\mathbb {C}$. Die Konvergenz der Reihe wird dann in der durch den Betrag $|\cdot |$ auf $\mathbb {K}$ induzierten Topologie betrachtet (siehe Potenzreihen in der Analysis oder Funktionentheorie). Ist $t_{0}\in \mathbb {K}$ der Entwicklungspunkt der Reihe $p$, dann konvergiert die Reihe mit $|t-t_{0}|<r$. Wobei $r$ der Konvergenzradius der Reihe ist.

Bemerkung 2 - Potenzreihen als Abbildungen

Wenn man in einer topologischen Algebra $(A,{\mathcal {T}})$ (z.B. Banachalgebra) eine Topologie ${\mathcal {T}}$ auf $A$ definiert ist, kann man kann man die Konvergenz der Partialsummen überprüfen (d.h. Polynome in $A$ konvergieren für bestimmte $t\in \mathbb {D}$ gegen einen Grenzwert in $(A,{\mathcal {T}})$. Dazu betrachtet man die Potenzreihe $p$ als Abbildung $p:\mathbb {D} \to A$. Der Definitionbereich $\mathbb {D}$ ist dabei entweder selbst eine Teilmenge eine Algebra $A$ oder eine Teilmenge $\mathbb {D} \subseteq \mathbb {K}$ des Körpers $\mathbb {K}$. Diese beiden Alternativen möglich, damit die Terme $p_{k}\cdot t^{k}$ wohldefiniert sind, denn $t^{k}$ ist dann entweder ein Element des Körpers $\mathbb {K}$ oder ein Element der Algebra $A$. Das Produkt $p_{k}\cdot t^{k}$ ist so einmal als Multiplikation mit Skalaren $t^{k}\in \mathbb {K}$ oder als innere Verknüpfung $\cdot :A\times A\to A$ mit $t^{k}\in A$ zu verstehen.

Bemerkung 3 - Potenzreihen als Kurven in A

Wählt man Definitionsbereich der Abbildung ein Intervall $\mathbb {D} :=[a,b]\subset \mathbb {R}$ kann man $p$ als Kurve in $A$ verstehen. Dabei ist die Potenzreihe ein Spezialfall der Konvexkombination der Ordnung $n$, die man als Polynome vom Grad $n$ als Bernstein-Polynome mit Koeffizienten in $A$ beschreiben kann.

Definition: Potenzreihenalgebra

Sei ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ die Menge aller Potenzreihen mit Koeffizienten in $A$ der Form

$$p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ mit }}(p_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in A^{\mathbb {N} _{0}}$$

Potenzreihe als Folge von Partialsummen

Für ein feste $t\in \mathbb {K}$ fasst man $p(t)$ als Folge der Partialsummen auf

$(p^{\downarrow n}(t))_{n\in \mathbb {N} }:=\left(\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot t^{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Cauchy-Produkt

${\textstyle A^{\infty }[t]}$ wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen $p,q$ als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

$${\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{, }}q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\,{\mbox{ und }}\\(p\cdot q)(t)&:=&p(t)\cdot q(t):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}p_{k}\cdot q_{n-k}\cdot t^{n}.\end{array}}$$

Konstanten als Potenzreihen

Ein Element ${\textstyle x\in A}$ kann mit dem konstanten Polynom $x(t):=x\cdot t^{0}\in A[t]\subseteq A^{\infty }[t]$ identifiziert werden.

Gleichheit von Potenzreihen

Seien zwei Potenzreihen $p,q\in A^{\infty }[t]$ gegeben mit:

$$p(t):=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{ und }}q(t):=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}$$

Die Gleichheit von Potenzreihen $p=q$ wird über die Koeffizientengleichheit definiert:

$$p=q:\Longleftrightarrow p_{k}=q_{k}{\mbox{ für alle }}k\in \mathbb {N} _{0}$$

Bemerkung - Gleichheit

Die Gleichheit von Potenzreihen bzw. Polynomen muss man nicht notwendigerweise über die Koeffizientengleicheit definieren, sondern kann auch über die Gleichheit der Bilder $p(t)=q(t)$ für alle $t\in \mathbb {D}$ aus dem Definitionsbereich $t\in \mathbb {D}$.

Beispiel - Gleichheit

Verwendet man z.B. den Restklassenring $R_{3}:=\{{\overline {0}}_{3},{\overline {1}}_{3},{\overline {2}}_{3}\}$ modulo 3 als Definitionsbereiches eines Polynoms, so unterscheidet sich das Polynom

$p(t):=t\cdot (t-{\overline {1}}_{3})\cdot (t+{\overline {1}}_{3})={\overline {1}}_{3}\cdot t^{3}-{\overline {1}}_{3}\cdot t$

vom Nullpolynom bzgl. der Koeffizienten von $t^{3}$ und $t^{1}$. Dennoch gilt für alle $t\in R_{3}$ die Bedingung $p(t)={\overline {0}}_{3}$.

Verwendung in dieser Lerneinheit

Im weiteren Lerneinheit zu topologischen Invertierbarkeitskriterien soll die Gleichheit der Potenzreihen bzw. Polynome dann und nur dann gegeben sein, wenn zwei Polynome koeffizientengleich für alle Koeffizienten von $t^{k}$ ist.

Topologische Potenzreihenalgebra

Sei $(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}})$ eine Algebra und $A^{\infty }[t]$ die Algebra der Potenzreihen mit Koeffizienten in ${\textstyle A}$. Ferner sei ein System aus Gaugefunktionalen ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ definiert, wird dann mit ${\textstyle ({\overline {A[t]}},\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}})}$ bezeichnet man mit ${\overline {A[t]}}$ den topologischen Abschluss der Polynomalgebra $A[t]$. bzgl. des Gaugefunktionalsystems definiert, dass jeder Potenzreihe ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$. Dabei geören alle $p\in A^{\infty }[t]$ zu ${\textstyle {\overline {A[t]}}}$, wenn folgende Bedingung gilt $\left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}<\infty$ für alle ${\textstyle {\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$.

Induzierte Topologien von der Algebra auf die Potenzreihenalgebra

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}(\mathbb {K} )}$ eine topologische Algebra der Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}}$. Ferner sei zu jedem ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ eine positive Konstante ${\textstyle C_{k}(\alpha )}$ und ein ${\textstyle {\mathcal {K}}}$-Funktional ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{k}^{(\alpha )}}$ gewählt, durch dass die folgenden Gaugefunktionale bzw. $p$-Gaugefunktionale auf dem Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in ${\textstyle A}$ definiert werden:

$$\left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{\alpha }:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}(\alpha )\cdot \left\|p_{k}\right\|_{k}^{(\alpha )}.$$

Topologischer Abschluss der Polynomalgebra bzgl. Gaugefunktionalsystem

Mit ${\textstyle ({\overline {A[t]}},\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {A}})}$ bezeichnet man dann den topologischen Abschluss von $A[t]$ bzgl. $\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {A}}$, d.h. Vektorraum aller Potenzreihen mit Koeffizienten in ${\textstyle A}$, die zusätzlich folgende Bedingung erfüllen:

$$\left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{\alpha }<\infty {\mbox{ für alle }}\alpha \in {\mathcal {A}}.$$

Topologisierung der Potenzreihenalgebra und Algebraerweiterung

Die Potenzreihenalgebra ${\overline {A[t]}}$ wird nun in einer Weise topologisiert, die von dem Gaugefunktionalsystem auf $A$ abhängt. Diese Vorgehen ist notwendig, damit man für die Konstruktion der Algebraerweiterung $B$ die Algebra $A$ in $B$ einbetten kann. D.h. die unitale Algebra ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ aus einer Klasse ${\textstyle {\mathcal {K}}_{e}}$ wird in die Algebraerweiterung ${\textstyle B\in {\mathcal {K}}_{e}}$ durch einen Algebraisomorphismus ${\textstyle \tau :A\longrightarrow A'\subset B}$ eingebettet:

• ${\textstyle \tau (e_{_{A}})=e_{_{B}}}$, wobei ${\textstyle e_{_{A}}}$ ist das Einselement von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle e_{_{B}}\in A'}$ das Einselement von ${\textstyle B}$ ist.
• ${\textstyle A}$ ist homöomorph zu ${\textstyle A'}$; d.h. ${\textstyle \tau }$ und ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ sind stetig.

Bemerkung: Stetigkeit Algebraisomorphismus

Die Stetigkeit des Algebraisomorphismus und der Umgekehrabbildung ${\textstyle \tau ^{-1}:A'\longrightarrow A}$ von wird später über die Gaugefunktionalsysteme auf ${\textstyle A\in {\mathcal {K}}_{e}}$ und der von ${\textstyle B\in {\mathcal {K}}_{e}}$ auf ${\textstyle A'\in {\mathcal {K}}_{e}}$ induzierten Relativtopologie nachgewiesen.

Lemma: Isotone Folge von Gaugefunktionalen

Sei ${\textstyle \left(A,\|\cdot \|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ und es seien ${\textstyle (\left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )})_{n\in \mathbb {N} }}$ isotone Folgen von Gaugefunktionalen mit Koeffizienten ${\textstyle C_{k}^{n}(\alpha )\geq 1}$, für die gelten:

• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{1}^{(\alpha )}:=\left\|\cdot \right\|_{\alpha }}$ für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$
• ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{n}^{(\alpha )}\leq \left\|\cdot \right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$
• ${\textstyle C_{k}^{n}(\alpha )\leq C_{k}^{n+1}(\alpha )}$ für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ und ${\textstyle n,k\in \mathbb {N} }$
• ${\textstyle C_{o}^{n}(\alpha )=1}$ für alle ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$.

Voraussetzung 2 - Gaugefunktionalsysteme auf Potenzreihenalgebra

Auf ${\textstyle A[t]}$ seien folgende vier Systeme ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} }^{(I)}}$, ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} }^{(II)}}$, ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} }^{(III)}}$, ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{{\mathcal {A}}\times \mathbb {N} }^{(IV)}}$ von Gaugefunktionalen für ${\textstyle \displaystyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{_{k}}\cdot t^{k}\in A[t]}$ definiert:

Voraussetzung 2 - Definition der Gaugefunktionalsysteme

• ${\textstyle \displaystyle \left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}^{(I)}:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{_{k}}\right\|_{n}^{(\alpha )}}$
• ${\textstyle \displaystyle \left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}^{(II)}:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{_{k}}\right\|_{n+1}^{(\alpha )}}$
• ${\textstyle \displaystyle \left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}^{(III)}:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}^{n+1}(\alpha )\cdot \left\|p_{_{k}}\right\|_{n}^{(\alpha )}}$
• ${\textstyle \displaystyle \left\|\!\left|p\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}^{(IV)}:=\left\|p_{o}\right\|_{n}^{(\alpha )}+\sum _{k=1}^{\infty }C_{k}^{n}(\alpha )\cdot \left\|p_{_{k}}\right\|_{n+2}^{(\alpha )}}$

Folgerung - Topologieerzeugung

Mit den obigen Voraussetzungen erzeugen die Systeme auf ${\textstyle A[t]}$ die gleiche Topologie. Insbesondere erhält man zu einem festen ${\textstyle \alpha }$ für alle 4 gewählten Teilsysteme von Gaugefunktionalen ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\{\alpha \}\times \mathbb {N} }^{(I)}}$,\dots , ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\{\alpha \}\times \mathbb {N} }^{(IV)}}$. das gleiche Teilsystem ${\mathcal {T}}_{\alpha }$ offener Mengen der Topologie ${\mathcal {T}}$.

Beweis

Es gilt für alle ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$, ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\textstyle M\in \{I,\dots ,IV\}}$ folgende Ungleichungskette:

$$\left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}^{(I)}\leq \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}^{(M)}\leq \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{(\alpha ,n+2)}^{(I)}$$

Damit stimmen die Teilsysteme für ein festes ${\textstyle \alpha }$, also auch die Ausgangstopologie überein. q.e.d.

Gleichheit von Partialsummen von Potenzreihen

Die Koeffizienten der Elemente von ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ kann man auch über die Partialsummen eindeutig bestimmen. Dabei sind die Partialsummen eindeutig als Linearkombinationen in $A$ mit $t\in \mathbb {K}$ definiert. Allerdings müssen die Partialsummen als Folge in $A$ nicht notwendig konvergieren.

Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 1

${\begin{array}{rll}p(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}&,&q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\in A[t]\\&&{\mbox{ mit }}p^{\downarrow m}(t)=q^{\downarrow m}(t){\mbox{ }}\forall t\in \mathbb {K} \\&\Longrightarrow &0_{A}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(p_{k}-q_{k})t^{k}\\\end{array}}$

Koeffizientenvergleich bei Partialsummen 2

${\begin{array}{rll}&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}};n\in \mathbb {N} }:0=\left|\!\left\|p-q\right\|\!\right|_{(\alpha ,n)}=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N} }:\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}=0.\end{array}}$

Da ${\textstyle A}$ ein Hausdorffraum ist, gilt auch ${\textstyle p_{k}=q_{k}}$ für alle ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Definition: Potenzreihenalgebra

Sei ${\textstyle A}$ eine Algebra und ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ die Algebra aller Potenzreihen mit Koeffizienten in ${\textstyle A}$ mit Cauchymultiplikation. Die Partialsumme bis zum Grad ${\textstyle m\in \mathbb {N} _{0}}$ einer Potenzreihe ${\textstyle p(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}\in {\overline {A[t]}}}$ ist folgendes Polynom:

$$p^{\downarrow m}(t):=\sum _{k=0}^{m}p_{k}\cdot t^{k}.$$

Definition: Partialsummentopologie

Sei ${\textstyle \left(A[t],\left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}\right)}$ eine Polynomalgebra. Dann bezeichnet ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}^{\downarrow \mathbb {N} }}$ das System der Partialsummenfunktionale von ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}}$ die mit

${\begin{array}{rcl}p(t)&:=&\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}{\mbox{wie folgt definiert sind:}}\\\left|\!\left\|p\right\|\!\right|_{\alpha }^{\downarrow m}&:=&\left|\!\left\|p^{\downarrow m}\right\|\!\right|_{\alpha }{\mbox{ mit }}\alpha \in {\mathcal {A}}{\mbox{ und }}m\in \mathbb {N} .\end{array}}$

Die durch ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}^{\downarrow \mathbb {N} }}$ erzeugte Topologie heißt Partialsummentopologie von ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}}$ auf ${\textstyle A[t]}$.

Bemerkung

Die Partialsummentopologie ist gröber als die von ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}}$ erzeugte Ausgangstopologie, denn für ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

$$\left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\alpha }^{\downarrow m}\leq \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\alpha }{\mbox{ für alle }}m\in \mathbb {N} .$$

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus ${\textstyle \left|\!\left\|\cdot \right\|\!\right|_{\mathcal {A}}}$ mit den Projektionen ${\textstyle \cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]}$ auf die ersten ${\textstyle m}$ Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf ${\textstyle A[t]}$ wählt. ${\textstyle m\in \mathbb {N} }$ sei dabei beliebig gewählt. Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen ${\textstyle p\in {\overline {A[t]}}}$ durch ${\textstyle z\cdot t-e\in A[t]}$ und einer zu ${\textstyle p}$ gewählten formalen Potenzreihe ${\textstyle {\widehat {p}}\in {\overline {A[t]}}}$.

Aufgaben

In den folgenden Aufgaben werden einige kleiner Übungen zur Berechnung von

Norm - Matrixalegbra - Topologisierung Potenzreihenalgebra

Gegeben sind die beiden Matrizen

$r_{k}:={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2^{k}}}&{\frac {1}{3^{k}}}\\{\frac {1}{4^{k}}}&{\frac {1}{5^{k}}}\\\end{pmatrix}}\,\,\,\,\,e_{A}:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

mit dem Einselement $e_{A}$ in der Algebra $A:=Mat(2\times 2,\mathbb {R} )$. $A$ ist mit der Norm

$\|a\|_{max}=\left\|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{3}&a_{4}\\\end{pmatrix}}\right\|_{max}=\max\{|a_{1}|,|a_{2}|,|a_{3}|,|a_{4}|\}$

ein normierter Raum.

• Zeigen Sie, dass die Potenzreihe $q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{A}\cdot t^{k}$ und der Norm $\|\!|p|\!\|:=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|p_{k}\|_{max}$ nicht in ${\overline {A[t]}}$ liegt.
• Berechnen Sie $\|\!|q|\!\|$ und $\|\!|r|\!\|$ mit $q_{k}=e_{A}$ bzw. den oben definierten Koeffizienten in$r_{k}$.
• Berechnen Sie für die Potenzreihe $r\in {\overline {A[t]}}$ mit $t=1$ die Matrix $r(t)=r(1)\in A$!

Raum der reellwertigen stetigen Funktionen

Wir betrachten Definitionsbereiches $\mathbb {R}$, der die Algebra $A:={\mathcal {C}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ der stetigen Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ mit den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

$\|f\|_{n}:=\displaystyle \max _{x\in [-n,+n]}|f(x)|$

wird $(A,\|\cdot \|_{\mathbb {N} })$ zu einem lokalkonvexen topologischen Vektorraum.

• Topologisieren Sie die Polynomalgebra $A[t]$ mit einem Halbnormensystem $(A[t],\|\!|\cdot |\!\|_{\mathbb {N} })$, das Sie mit $\|\cdot \|_{n}$ definieren.

$\|\!|p|\!\|_{n}:=\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{k}\cdot \|p_{k}\|_{n}$.

Hinweis: wählen Sie für die $(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ z.B. eine geometrische Reihe

• Zeigen Sie, dass die Halbnormen $\|\cdot \|_{n}$ submultiplikativ sind, d.h. $\|f\cdot g\|_{n}\leq \|f\|_{n}\cdot \|g\|_{n}$!
• Wählen Sie die Koeffizienten $C_{k}\in \mathbb {R} _{o}^{+}$ so, dass das Polynom $q\in A[t]$ mit $q_{k}=cos$ für alle $k\in \mathbb {N} _{o}$ ein Element von der Potenzreihenalgebra $({\overline {A[t]}},\|\!|\cdot |\!\|_{\mathbb {N} })$ ist. Das Polynom $q$ ist damit eine Potenzreihe, bei der alle Koeffizienten $q_{k}$ die cos-Funktion ist. Wählen Sie z.B. $C_{k}:={\frac {1}{3^{k}}}$ und berechnen Sie $\|cos\|_{n}$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Welche Eigenschaft muss die Koeffizientenfolge $(C_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ allgemein besitzen, damit $\|\!|q|\!\|_{n}<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$ liefert, also für alle $n$ einen endlichen Wert der Halbnormen leifert.
• Wählen Sie für die Koeffzientenfolge als eine $(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine geometrische Reihe mit $0<q<1$ und $C_{k}:=q^{k}$ und zeigen Sie, dass

$\|\!|p\cdot q|\!\|_{n}\leq \|\!|p|\!\|_{n}\cdot \|\!|q|\!\|_{n}$

mit dem Cauchy-Produkt auf $A[t]$ erfüllt ist.

Faktorisierungslemma für zt-e

Sei ${\textstyle A}$ eine unitale Algebra mit Einselement ${\textstyle e}$ und ${\textstyle z\in A}$ beliebig gewählt. ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ ist mit der Cauchymultiplikation eine Algebra, in der gilt:

$$\forall _{\displaystyle p\in A^{\infty }[t]}\exists _{\displaystyle {\widehat {p}}\in A^{\infty }[t]}\,:\,p(t)=(z\cdot t-e)\cdot {\widehat {p}}(t)(\ast )$$

${\textstyle {\widehat {p}}}$ ist zu jedem ${\textstyle p}$ eindeutig bestimmt.

Beweis

${\textstyle A^{\infty }[t]}$ ist ein unitaler Ring und ${\textstyle s\in A[t]\subset A^{\infty }[t]}$ mit ${\textstyle s(t):=z\cdot t-e=z\cdot t^{1}+e\cdot t^{0}}$. Wir zeigen nun, dass $s\in A^{\infty }[t]$ invertierbar ist.

Inverses Element von zt-e

Man definiert zunächst über das gegebene $z\in A$ ein Polynom $q\in A^{\infty }[t]$ mit:

$$q(t):=-\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\cdot t^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }-z^{k}\cdot t^{k}$$

Wir berechnen nun $s\cdot q\in A^{\infty }[t]$ über

$${\begin{array}{rcl}(s\cdot q)(t)&=&s(t)\cdot q(t)=(z\cdot t-e)\cdot \left(\displaystyle -\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\cdot t^{k}\right)\\&=&\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }z^{k}\cdot t^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}\cdot t^{k}=e\end{array}}$$

Definition der gesuchten Potenzreihe

Damit definiert man ${\textstyle {\widehat {p}}(t):=q(t)\cdot p(t)=(z\cdot t-e)^{-1}\cdot p(t)}$.

Eindeutigkeit der Potenzreihe

Eindeutigkeit von ${\textstyle {\widehat {p}}}$: Seien ${\textstyle {\widehat {p_{(1)}}},{\widehat {p_{(2)}}}\in {\overline {A[t]}}}$ gegeben, die die Eigenschaft ${\textstyle (*)}$ besitzen. Für ${\textstyle v(t):=z\cdot t-e}$ erhält man:

$${\begin{array}{rcl}p&=&v\cdot {\widehat {p_{(1)}}}=v\cdot {\widehat {p_{(2)}}}\Longrightarrow \\{\widehat {p_{(1)}}}&=&v^{-1}\cdot (v\cdot {\widehat {p_{(1)}}})=v^{-1}\cdot (v\cdot {\widehat {p_{(2)}}})={\widehat {p_{(2)}}}\\\end{array}}$$

q.e.d.

Bemerkung

Die Koeffizienten der Elemente von ${\textstyle A^{\infty }[t]}$ sind eindeutig bestimmt, denn sei:

${\begin{array}{rcl}p(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}\cdot t^{k}&,&q(t):=\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q_{k}\cdot t^{k}\in A[t]{\mbox{ mit }}p(t)=q(t)\\&\Longrightarrow &0\equiv \displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(p_{k}-q_{k})t^{k}\\&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}};n\in \mathbb {N} }:0=\left\|\!\left|p-q\right|\!\right\|_{(\alpha ,n)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}\\&\Longrightarrow &\forall _{\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}},n\in \mathbb {N} }:\left\|p_{k}-q_{k}\right\|_{n}^{(\alpha )}=0.\end{array}}$

Da ${\textstyle A}$ ein Hausdorffraum ist, gilt auch ${\textstyle p_{k}=q_{k}}$ für alle ${\textstyle k\in \mathbb {N} _{0}}$.

Bemerkung

Die Partialsummentopologie ist gröber als die von ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {A}}}$ erzeugte Ausgangstopologie, denn für ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gilt:

$$\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\alpha }^{\downarrow m}\leq \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\alpha }{\mbox{ für alle }}m\in \mathbb {N} .$$

Die Partialsummentopologie erhält man, wenn man die einzelnen Gaugefunktionale aus ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\mathcal {A}}}$ mit den Projektionen ${\textstyle \cdot ^{\downarrow m}:A[t]\longrightarrow A[t]}$ auf die ersten ${\textstyle m}$ Summanden des Polynoms verkettet und als topologieerzeugende Funktionale auf ${\textstyle A[t]}$ wählt. ${\textstyle m\in \mathbb {N} }$ sei dabei beliebig gewählt.

Das folgende Lemma zeigt die Eindeutigkeit der Faktorisierung von beliebigen Elementen ${\textstyle p\in {\overline {A[t]}}}$ durch ${\textstyle z\cdot t-e\in A[t]}$ und einer zu ${\textstyle p}$ gewählten formalen Potenzreihe ${\textstyle {\widehat {p}}\in {\overline {A[t]}}}$.

Siehe auch

• Definition - Potenzreihe
• Potenzreihen in der Funktionentheorie
• Polynomalgebra
• Multiplikative topologische Nullteiler

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