Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die -regulären (bzw. die -regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen -Halbnormensystem).
Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein mit ein -reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse . Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.
Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren.
Das sind die Elemente einer Nullumgebung , bei denen beliebige skalare Vielfache der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. für alle ).
Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Sei eine topologische Algebra mit als System von offenen Mengen und eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung wird dann wie folgt definiert:
Für jede Nullumgebung gilt , denn der Nullvektor liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge von beliebigen Nullumgebungen , denn für alle erhält man die Bedingung:
Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum zu der offenen Menge
die Elemente aus an.
Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):
Geben Sie in zu der offenen Menge wieder
alle Elemente aus an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?
Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen
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Wir betrachten die reelle -Algebra von Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in sind.
Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung
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Sei beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen mit für alle zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen gehören mit:
Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra
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wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.
Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen
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Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.
Definition: Multiplikative topologische Nullteiler
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Sei eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung die Bedingung:
Für das entsprechende Gaugefunktionale gilt dann für alle .
Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler
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Man nennt einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass gilt für alle :
Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler
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heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass für alle gilt:
Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler
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ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.
Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler
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Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für -reguläre Elemente (1971)[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die -singulären Elemente der Algebra darstellt.
Sei ein submultiplikatives -Gaugefunktionalsystem , dann gilt mit als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:
In kommutativen Algebren gilt .
Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.
Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale
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Sei ein unital positives submultiplikatives -Halbnormensystem einer -Algebra, dann gilt:
Bei der Charakterisierung der -Regularität sind die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die -regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle mit geeignet gewählten erfüllen für alle :
Sei eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem , dann gilt .
Sei , dann gilt genau dann, wenn es ein gibt, so dass für alle gilt:
Wenn submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für und man erhält die Behauptung.
Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle . Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle gelten. Also folgt insbesondere:
Damit gilt auch .
Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT
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Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.
Sei und ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:
Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung gilt:
Da der Nullvektor in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen von beliebigen Nullumgebungen enthalten ist, gilt für alle die Bedingung:
Sei eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:
Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT
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Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems auf z.B. für .
Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT
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Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:
Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren
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Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:
Begründen Sie, dass die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein gilt:
Sei eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:
Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:
Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente
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Über die Teilmengenbeziehung kann es Elemente in eine -Algebra geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein -singuläres Element dennoch -regulär sein.
- ↑ Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;
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