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Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler

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Einleitung

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Multiplikative topologische Nullteiler charakterisieren die -regulären (bzw. die -regulären Elemente) in kommuntativen multiplikativen topologischen Algebren mit einem submultiplikativen Halbnormensystem (bzw. submultiplikativen -Halbnormensystem).

MPC- bzw. MLC-Regularität

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Die Negation der Eigenschaft, ein multiplikativer topologischer Nullteiler zu sein, führt dazu, dass ein mit ein -reguläres Element in kommuntativen unitalen topologische Algebren ist. Dies gilt analog für die Algebrenklasse . Daher werden die multiplikativen topologischen Nullteiler in dieser Lerneinheit genauer untersucht.

Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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In einer Nullumgebung kann man die skalar-unbeschränkten Teilmenge einer Nullumgebung identifizieren. Das sind die Elemente einer Nullumgebung , bei denen beliebige skalare Vielfache der Vektoren ebenfalls wieder in der Nullumgebung liegen (i.e. für alle ).

Definition: Skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Sei eine topologische Algebra mit als System von offenen Mengen und eine Nullumgebung. Die skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung wird dann wie folgt definiert:

Bemerkung: Nullvektor

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Für jede Nullumgebung gilt , denn der Nullvektor liegt in der skalar-unbeschränkten Teilmenge von beliebigen Nullumgebungen , denn für alle erhält man die Bedingung:


Aufgabe 1 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

Geben Sie zu dem lokalkonvexen topologischen Vektorraum zu der offenen Menge

die Elemente aus an.

Aufgabe 2 - Skalar unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Sei die Vektorraum der stetige reellwertige Funktionen von nach mit dem Halbnormensystem und den Halbnormen (siehe auch Normen, Metriken, Topologie):

Geben Sie in zu der offenen Menge wieder alle Elemente aus an. Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede bestehen zwischen Aufgabe 1 und 2 bzgl. der skalaren Unbeschränktheit?

Beispiele für skalar-unbeschränkte Teilmengen von Nullumgebungen

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Wir betrachten die reelle -Algebra von Potenzreihen mit reellen Koeffizienten und der Partialsummentopologie. Dabei sind mit beliebige Potenzreihen gemeint, die nicht notwendig konvergent bzw. absolut konvergent mit Koeffizienten in sind.

Aufgabe: Skalar-unbeschränkte Teilmenge einer Nullumgebung

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Sei beliebig gewählt. Zeigen Sie, dass alle Potenzreihen mit für alle zur skalar-unbeschränkten Teilmenge der Nullumgebungen gehören mit:

Cauchy-Produkt auf der Potenzreihenalgebra

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wird analog zur Polynomalgebra die Cauchymultiplikation von zwei Potenzreihen als multiplikative Verknüpfung wie folgt definiert.

Aufgabe 3 - Cauchy-Produkt - submultiplikative Halbnormen

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Zeigen Sie, dass die Partialsummentopologie submultiplikative Halbnormen auf der Potenzreihenalgebra erzeugt.

Definition: Multiplikative topologische Nullteiler

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Sei eine topologische Algebra. Da eine topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige multiplikative topologische Nullteiler. Dabei gilt für eine multiplikative Nullumgebung die Bedingung:

Für das entsprechende Gaugefunktionale gilt dann für alle .

Definition: Rechtsseitiger multiplikativer topologische Nullteiler

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Man nennt einen rechtsseitgen multiplikativer topologischen Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls es eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass gilt für alle :

Definition: Linksseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler

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heißt linksseitger multiplikativer topologischer Nullteiler in (Bezeichnung: ), falls ese eine multiplikative kreisförmige Nullumgebung gibt, so dass für alle gilt:

Definition: multiplikativer topologischer Nullteiler

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ist ein multiplikativer topologischer Nullteiler (Bezeichnung: ), falls ein rechtseitiger oder ein linkseitiger multiplikativer topologischer Nullteiler ist.

Bemerkung: Multiplikative topologische Nullteiler

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Die Definition eines multiplikativen topologischen Nullteilers basiert auf dem Charakterisierungssatz von Zelazko für -reguläre Elemente (1971)[1], bei dem die Menge der multiplikativen topologischen Nullteiler genau die -singulären Elemente der Algebra darstellt.

Lemma: MTNT - Gaugefunktionale

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Sei ein submultiplikatives -Gaugefunktionalsystem , dann gilt mit als Menge der Gaugefunktionalindizes, die submultiplikativ, sind folgende Äquivalenz:

In kommutativen Algebren gilt .

Beweis - MTNT - Gaugefunktionale

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Beweis siehe MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale.

Lemma: Negation MTNT - Gaugefunktionale

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Sei ein unital positives submultiplikatives -Halbnormensystem einer -Algebra, dann gilt:

Bemerkung: MPC-Regularität

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Bei der Charakterisierung der -Regularität sind die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler und die -regulären Elemente die Elemente, die die folgenden Ungleichung für alle mit geeignet gewählten erfüllen für alle :

Lemma: Zusammenhang MTNT - TNT

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Sei eine topologische Algebra mit einem unital-positiven Gaugefunktionalsystem , dann gilt .

Beweis - Zusammenhang MTNT - TNT

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Sei , dann gilt genau dann, wenn es ein gibt, so dass für alle gilt:

Wenn submultiplikativ ist, dann gilt die Aussage insbesondere für und man erhält die Behauptung.

Spezialfall für MTNT-Elemente

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Für multiplikative topologische Nullteiler muss das Infimum aber nur 0 sein für das spezielle . Für rechtsseitige (linksseitige) topologische Nullteiler muss das Infimum aber für alle gelten. Also folgt insbesondere:

Damit gilt auch .

Linksseitige und allgemeine TNT und MTNT

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Der Beweis für den Zusammenhang zwischen multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteiler über Gaugefunktionale verläuft für inksseitige und allgemeine TNT und MTNT analog.

Bemerkung: MTNT - über Nullumgebungen

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Sei und ein rechtseitiger topologischer Nullteiler, für den gilt nach Definition, dass es eine Nullumgebung gibt, so dass gilt:

Damit gilt u.a., dass es für jede Nullumgebgung gilt:

Skalar unbeschränkte Teilmengen

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Da der Nullvektor in jeder skalar unbeschränkten Teilmengen von beliebigen Nullumgebungen enthalten ist, gilt für alle die Bedingung:

Lemma: Zusammenhang MTNT und TNT

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Sei eine topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen. Dann gelten folgende Teilmengenbeziehungen:

Aufgabe 4 - Teilmengenbeziehung zu MTNT

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Die folgenden Beweisaufgaben beziehen sich auf den Zusammenhang von multiplikativen topologischen Nullteilern und topologischen Nullteilern. Zeigen Sie die folgenden Aussagen über die Verwendung eines unital-positiven Gaugefunktionalsystems auf z.B. für .

Beweis Lemma Zusammenhang MTNT und TNT

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Beweisen Sie, dass in einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen die folgende Teilmengenbeziehungen gelten:

Banachalgebren - Lokalbeschränkte Algebren

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Zeigen Sie, dass in Banachalgebren bzw. lokalbeschränkten Algebren die Gleichheit gilt:

MLC- und MPC-Regularität

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Begründen Sie, dass die -singulären Elemente genau die multiplikativen topologischen Nullteiler sind, d.h. für ein gilt:

Lemma: Zusammenhang MTNT und TKP

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Sei eine topologische Algebra. Dann gelten die Teilmengenbeziehung auf für Elemente mit topologisch kleinen Potenzen über folgende Teilmengenbeziehungen:

Bemerkung TNT - TKP

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Da topologische Nullteiler auch Elemente mit topologisch kleinen Potenzen sind, folgt die Übungsaufgabe obenin einer topologische Algebra mit einer Nullumgebungsbasis aus multiplikativen Nullumgebungen auch unmittelbar aus der folgenden Teilmengenbeziehung:

Bezug zum Haupsatz über K-reguläre Elemente

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Über die Teilmengenbeziehung kann es Elemente in eine -Algebra geben, die zwar ein multiplikativer topologischer Nullteiler sind, aber dennoch topologisch große Potenzen besitzen. In einem solchen Fall kann ein -singuläres Element dennoch -regulär sein.


Quellennachweis

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  1. Zelazko, W., (1971), On permanently singular elements in commutative m-convex locally convex algebras, Studia Math. 37, S. 181-190;

Siehe auch

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Seiteninformation

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