Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale

Satz TKP und Gaugefunktionale

Sei ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right)\in {\mathcal {K}}}$ und ${\textstyle z\in A}$ gegeben. Wenn es ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }$ mit

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0$$

existiert, so ist ${\textstyle z}$ ein ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-singuläres Element.

Bemerkung - Negation der Singularitätbedingung

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen, indem man annimmt, dass ein Element $z\in A$ ein ${\mathcal {T}}$-reguläres Element ist, und dann die Negation der obigen Aussage gilt.

Beweis - Satz TKP-Eigenschaft Gaugefunktionale

Der obige Satz wird über die Kontraposition bewiesen und die Eigenschaften der Hömöomorphie der Einbettung bzgl. einer Algebraerweiterung, in der ein $z\in A$ invertierbar ist.

Beweis

Seien ${\textstyle z\in {\mathcal {G}}_{\mathcal {T}}(A)}$, ${\textstyle \left(A,\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}\right),\left(B,\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\right)\in {\mathcal {T}}_{e}(\mathbb {K} )}$, ${\textstyle B}$ eine ${\textstyle {\mathcal {T}}}$-Erweiterung von ${\textstyle A}$ und ${\textstyle b\in B}$ sei das Inverse zu ${\textstyle z}$. Ohne Einschränkung sind die obigen Gaugefunktionalsysteme unital positiv.

Beweis 1: Äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Man betrachtet das auf der Algebraerweiterung ${\textstyle B}$ definierte Gaugefunktionalsystem $\left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}$ und induziert damit ein Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\!\left|\cdot \right|\!\right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ auf $A$, das zu dem gegebenen Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$ äquivalent ist.

Beweis 2: Definition äquivalentes Gaugefunktionalsystem

Das von $B$ auf $A$ induzierte Gaugefunktionalsystem ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ wird mit dem Algebraisomorphismus $\tau :A\to A'\subset B$ definiert (siehe Algebraerweiterung) d.h.

$${\begin{array}{rccl}\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}:&A&\longrightarrow &\mathbb {K} ,\\&x&\longmapsto &\left\|\!\left|\tau (x)\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}\\\end{array}}$$

Beweis 3: Homöomorphie - Äquivalenz Gaugefunktionalsystem

Da $\tau :A\to A'\subset B$ ein Algebraisomorphismus ist und $A'$ homöomorph zu $A$ ist, liefert die Stetigkeit von $\tau$ und $\tau ^{-1}$ die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}$ und ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}}$.

Beweis 4 - Definition von Stetigkeitssequenzen

Nun definiert man damit folgendes System ${\textstyle \left\|\cdot \right\|_{{\widetilde {\mathcal {A}}}\times \mathbb {N} _{0}}}$ mit den Funktionalen

$$\left\|\cdot \right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}:A\longrightarrow \mathbb {K} ,x\longmapsto \left\|\!\left|z^{k}\cdot x\right|\!\right\|_{\widetilde {\alpha }}{\mbox{ mit }}{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}.$$

Beweis 5 - Stetigkeit der Multiplikation

Für alle ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ${\textstyle {\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}$, sodass für alle ${\textstyle x\in A}$ gilt

$$\left|\!\left\|x\cdot y\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\leq \left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|y\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}$$

Beweis 6 - Anwendung auf die Gaugefunktionale

Man erhält über die Stetigkeit der Multiplikation folgende Ungleichungen:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}&=&\left|\!\left\|x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}=\left|\!\left\|z^{k}\cdot b^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\cdot \left|\!\left\|b^{k}\cdot x\right\|\!\right|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {\left|\!\left\|z^{k}\right\|\!\right|_{\gamma }} _{D_{k}({\widetilde {\alpha }})}\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}=D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|x\right\|_{({\widetilde {\alpha }},k)}\\\end{array}}$

Beweis 7 - Unitale Positivität

Unter Verwendung der Unitalen Positivität der verwendeten Gaugfunktionalsysteme erhält man insbesondere:

$$0<\left\|e_{A}\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot e_{A}\right\|_{\beta }=\underbrace {D_{k}({\widetilde {\alpha }})} _{>0}\cdot \underbrace {\left\|z^{k}\right\|_{\widetilde {\beta }}} _{>0}$$

Beweis 8 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt gilt die folgende Abschätzung durch die Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme auch für das gegebene Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$, denn für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gibt es eine Konstante $C_{1}>0$ und eine ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ mit

$\left\|\cdot \right\|_{\alpha }\leq C_{1}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}$

Beweis 9 - TKP-Negation - Ungleichung

Für diese ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es eine Konstante $D_{k}({\widetilde {\alpha }})>0$ und ein ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$

$\left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}$

Beweis 10 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Dann gibt es wieder mit der Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme ${\widetilde {\beta }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ eine Konstante $C_{2}>0$ mit

$\left\|\cdot \right\|_{\widetilde {\alpha }}\leq C_{2}\cdot \left\|\cdot \right\|_{\beta }$

Beweis 11 - Äquivalenz der Gaugefunktionalsysteme

Insgesamt erhält man für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ gibt es ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $D_{k}(\alpha )>0$ die analoge Ungleichung für das Gaugefunktionalsystem $\left\|\cdot \right\|_{\mathcal {A}}$ für alle $x\in A$:

${\begin{array}{rcl}\left\|x\right\|_{\alpha }&\leq &C_{1}\cdot \left\|x\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&\leq &C_{1}\cdot D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\widetilde {\beta }}\\&\leq &\underbrace {C_{1}\cdot D_{k}({\widetilde {\alpha }})\cdot C_{2}} _{D_{k}(\alpha )}\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }\\\end{array}}$

Beweis 12 - Umformung der Regularitäteigenschaft

Die obige Ungleichung $\left\|x\right\|_{\alpha }\leq D_{k}(\alpha )\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$ gilt ohne Einschränkung für $\|x\|_{\alpha }=0$. Für $\|x\|_{\alpha }>0$ kann man die obige Gleichung wie folgt umformen:

${\frac {1}{D_{k}(\alpha )}}\leq \underbrace {\frac {1}{\left\|x\right\|_{\alpha }}} _{=\left(\left\|x\right\|_{\alpha }^{-{\frac {1}{p}}}\right)^{p}}\cdot \left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }=\left\|z^{k}\cdot {\frac {x}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{\beta }$

Beweis 12 - Normiertheit

Das Infimum wird auch bei $p$-Gaugefunktionalen für alle $\|x\|_{\alpha }=1$ gebildet, denn es gilt:

$\left\|{\frac {x}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{\alpha }=\left({\frac {1}{\left\|x\right\|_{\alpha }^{\frac {1}{p}}}}\right)^{p}\cdot \left\|x\right\|_{\alpha }={\frac {\left\|x\right\|_{\alpha }}{\left\|x\right\|_{\alpha }}}=1$

Beweis 13 - Infimumbildung

Für $z\in A$ als ${\mathcal {K}}$-reguläres Element kann man nun das Infimumbildung über alle $\left\|x\right\|_{\alpha }=1$ bilden und man erhält für alle $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\beta \in {\mathcal {A}}$ und Konstanten $\varepsilon _{k}>0$, sodass für alle $x\in A$ gilt:

$\varepsilon _{k}=\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k}\cdot x\right\|_{\beta }$

Beweis 14 - Negation der Regularitäteigenschaft

Negation der Aussage (13) liefert dann: Es gibt ein ${\textstyle \alpha \in {\mathcal {A}}}$ gibt, so dass für alle ${\textstyle \beta \in {\mathcal {A}}}$ ein ${\textstyle k(\beta )\in \mathbb {N} }$ mit

$$\inf _{\left\|x\right\|_{\alpha }=1}\left\|z^{k(\beta )}\cdot x\right\|_{\beta }=0$$

Damit folgt die Behauptung. $\Box$

Siehe auch

• topologisch kleine Potenzen
• Elemente mit kleinen Potenzen
• topologische Nullteiler
• Lemma über Produkte mit topologischen Nullteilern

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