Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.
Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional
ein
mit

Zu diesem
kann man wieder
finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.
Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional
ein
mit

Zu diesem
kann man wieder
finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.
In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.
In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional
voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation
voraussetzen kann, dass
gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.
Sei
, dann gilt mit
:

Analog definiert man den Fall
und
.
Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale
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Sei
eine topologische Algebra mit einem System
von
-Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge
wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis
aus kreisförmigen Mengen
. Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional
ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass
für das Einselement der Multiplikation
gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.
Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem
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Sei
eine topologische Algebra mit einem System
von
-Gaugefunktionalen.
heißt "unital positiv", wenn für das Einselement
der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen
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Sei
eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem
, das die Topologie
erzeugt.
Wenn eine topologische Algebra
ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente
mit
zwei Umgebungen
und
existieren mit
.
Da
eine Hausdorff-Topologie auf
ist, gibt es zu
ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis
aus kreisförmigen Mengen ein
finden, für das
gilt. Für
ebenfalls
. Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen
wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).
Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen
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Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis
über
aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle
gilt:
und damit wäre die von
erzeugte Topologie feiner als die von
und
- umgekehrt ist
eine Nullumgebung und dann gibt es für alle
ein
mit
, weil
eine Nullumgebungsbasis von
ist.
Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale
. Da die
kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle
die Bedingung
damit gilt sogar
. Damit folgt die Behauptung
Definition: Stetigkeitssequenz der Addition
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Sei
ist eine topologische Algebra der Klasse
. Eine Folge
von Gaugefunktionalen mit
für alle 
für alle
,
und
heißt Stetigkeitssequenz der Addition oder kurz
-Sequenz und
sind die Stetigkeitskonstanten der Addition. Die
-Sequenz nennt man "normalisiert", falls
für alle
gilt.
Bemerkung: Stetigkeitskonstanten der Addition
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Die Stetigkeitskonstanten
der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen).
Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation
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Sei
ist eine topologische Algebra der Klasse
. Eine Folge
von Gaugefunktionalen mit
für alle 
für alle
,
und
heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz
-Sequenz der Multiplikation und
sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation. Die
-Sequenz nennt man "normalisiert", falls
für alle
gilt.
Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren
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Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen
das erste
-Funktional
definiert, so n
heißt
-Sequenz zu
. Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die
-Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra
als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in
anwenden.
Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen
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-Sequenzen können wegen der
Stetigkeit der Multiplikation zu jedem
und für jede
topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem
mit
eine
-Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf
der Algebra
stetig.
Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen
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Im Allgemeinen wird man nur normalisierte
-Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu
gewählte
-Sequenz kann durch
eine normalisierte
-Sequenz ersetzen werden.
Ist nämlich
und
, so ist auch
ein stetiges
-Funktional und damit
ein Element von
.
Die Stetigkeitskonstanten
werden erst später bei der
Regularitätsdingung von Bedeutung sein.
Sei
ist eine topologische Algebra der Klasse
. Eine Folge
von Gaugefunktionalen mit
für alle 
für alle
,
für alle
,
und
heißt Stetigkeitssequenz kurz
-Sequenz und
sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation. Die
-Sequenz nennt man "normalisiert", falls
für alle
gilt.
Existenzsatz über Stetigkeitssequenzen
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In einer topologischen Algebra
existiert zu jedem
eine Stetigkeitsequenz

Nutzen Sie das Topologisierungslemma für topologische Algebren um die Aussage als Übungsaufgabe zu zeigen. Ergänzen Sie dazu die fehlenden Schritte in dem folgenden Beweisrumpf:
In der topologischen Algebra
sei
beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für
:

Für pseudokonvexe Algebren
sei
ein System von Quasihalbnormen. Falls
mit einem System von
-homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der
-Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

Konstruktion von Gaugefunktionalfolgen
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Sei
. Wir definieren nun zu jedem
eine Folge von Gaugefunktionalen
. Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.
Festlegung des ersten Gaugefunktionals
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Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt
für alle
. Für eine normalisierte
-Sequenz
zu
definieren wir als ersten Gaugefunktional
. Damit gilt:
.
Sei nun
bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra
ein
, für das gilt:

Ferner sei ohne Einschränkung
. Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man
durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung
mit
und
.
Sei nun
bereits induktiv definiert.
Wir betrachten nun die Teilmenge
mit
Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
erhält man:

Ferner wurde
für die "
"-Abschätzung verwendet.
Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
erhält man:

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
erhält man analog für beliebige
:

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von
erhält man analog für beliebige
:

Für
erhält man:

Wegen
gilt damit auch
.
Zwei Systeme
und
auf einem topologischen Vektorraum
heißen äquivalent (Bezeichnung:
), falls gilt:

Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie.
Wenn man ein gerichtetes System und ein festes
gegeben hat
und als weitere Indexmenge
definiert, dann sind
und
äquivalente Systeme.
Sei
eine topologische Algebra und
,
zwei Folgen von Gaugefunktionalen in
.Dann definiert man:

Sei
eine topologische Algebra und

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle
eine normalisierte
-Sequenz
mit

Sei
und
sei bereits induktiv definiert, dann
erhält man
wie folgt:
Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein
mit

Da
gerichtet ist, gibt es ein Funktional
mit

Damit folgt die Behauptung durch Induktion über
.
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