Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen

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Einführung[Bearbeiten]

Betrachtet man das Topologisierungslemma für Algebren, so kann man der Stetigkeit der Verknüpfungen in der topologischen Algebra jeweils Ungleichungen zuordnen, die äquivalent zu dieser Stetigkeit sind. Z.B. sind bei der Addition im Gegensatz zur Dreieckungleichung einer Norm oder Halbnorm zwei verschiedene Gaugefunktionale beteiligt.

Addition[Bearbeiten]

Bei diesen Ungleichungen gibt es zu jedem Gaugefunktional ein mit

Zu diesem kann man wieder finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Multiplikation[Bearbeiten]

Analog kann man Stetigkeitssequenzen bzgl. der Multiplikation erzeugen, d.h. es gibt zu jedem Gaugefunktional ein mit

Zu diesem kann man wieder finden, für das dann wiederum die folgende Ungleichung gilt:

Über diesen Mechanismus entstehen später Stetigkeitssequenzen von Gaugefunktionalen.

Addition und Multiplikation[Bearbeiten]

In diesem Abschnitt wird die Existenz dieser Stetigkeitssequenzen nachgewiesen, die für die Topologisierung der Polynomalgebra von Bedeutung sind.

Unitale Algebren und Gaugefunktionale[Bearbeiten]

In einem System von Gaugefunktionalen ist es für die Argumentation in multiplikativen Zusammenhängen hilfreich, wenn man für die Gaugefunktional voraussetzen könnte, dass man für das Einselement der Multiplikation voraussetzen kann, dass gilt für alle gilt. Ein Lemma zeigt, dass dies ohne Einschränkung möglich ist.

Definition:[Bearbeiten]

Sei , dann gilt mit :

Analog definiert man den Fall und .


Partielle Ordnung auf der Menge der p-Gaugefunktionale[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra mit einem System von -Gaugefunktionalen. Auf der Indexmenge wird nun die folgende partielle Ordnung definiert:

Unital positive Gaugefunktionale[Bearbeiten]

In topologischen Vektorräumen (und damit auch topologischen Algebren) gibt es eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen . Die Kreisförmigkeiten liefert die absolute Homogenität der Gaugefunktionale. Um für die Gaugefunktional ohne Einschränkung voraussetzen zu können, dass für das Einselement der Multiplikation gilt, müssen wir den Schnitt von kreisförmigen Nullumgebungen betrachten.

Definition: Unital positives Gaugefunktionalsystem[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra mit einem System von -Gaugefunktionalen. heißt "unital positiv", wenn für das Einselement der Multiplikation die folgende Eigenschaft gilt:

Lemma zu unitalen positiven Gaugefunktionalsystemen[Bearbeiten]

Sei eine Hausdorff'sche topologische Algebra, dann gibt es ein unital positves Gaugefunktionalsystem , das die Topologie erzeugt.

Beweis[Bearbeiten]

Wenn eine topologische Algebra ist Hausdorff'sche und für die beiden Elemente mit zwei Umgebungen und existieren mit .

Schnitt von kreisförmigen Mengen[Bearbeiten]

Da eine Hausdorff-Topologie auf ist, gibt es zu ist, kann man aus der Nullmgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen ein finden, für das gilt. Für ebenfalls . Ferner ist der Schnitt von zwei kreisförmigen Mengen wieder kreisförmig (siehe Lemma über Schnitt von kreisförmigen Mengen).

Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen[Bearbeiten]

Insgesamt definiert man nun eine neue Nullumgebungsbasis über aus kreisförmigen Nullumgebungen, die die Topologie erzeugt, denn für alle gilt:

  • und damit wäre die von erzeugte Topologie feiner als die von und
  • umgekehrt ist eine Nullumgebung und dann gibt es für alle ein mit , weil eine Nullumgebungsbasis von ist.

Unital Positivität[Bearbeiten]

Wir betrachten nun die Minkowski-Funktionale . Da die kreisförmig sind, sind die Minkowski-Funktionale absolut homogen und damit Gaugefunktionale. Ferner gilt für alle die Bedingung damit gilt sogar . Damit folgt die Behauptung

Definition: Stetigkeitssequenz der Addition[Bearbeiten]

Sei ist eine topologische Algebra der Klasse . Eine Folge von Gaugefunktionalen mit

  • für alle
  • für alle , und heißt Stetigkeitssequenz der Addition oder kurz -Sequenz und sind die Stetigkeitskonstanten der Addition. Die -Sequenz nennt man "normalisiert", falls für alle gilt.

Bemerkung: Stetigkeitskonstanten der Addition[Bearbeiten]

Die Stetigkeitskonstanten der Addition entstehen z.B. dann, wenn die Gaugefunktionale Quasihalbnormen sind (siehe auch Korrespondenzsatz p-Halbnormen).

Definition: Stetigkeitssequenz der Multiplikation[Bearbeiten]

Sei ist eine topologische Algebra der Klasse . Eine Folge von Gaugefunktionalen mit

  • für alle
  • für alle , und heißt Stetigkeitssequenz der Multiplikation oder kurz -Sequenz der Multiplikation und sind die Stetigkeitskonstanten der Multiplikation. Die -Sequenz nennt man "normalisiert", falls für alle gilt.

Bemerkung: Stetigkeitssequenzen und Polynomalgebren[Bearbeiten]

Durch ein induktive Definition über das Topologisierungslemma von Algebren, kann man zu einem gegebenen das erste -Funktional definiert, so n heißt -Sequenz zu . Insgesamt wird man die topologischen Eigenschaften der Stetigkeit dann direkt über die Erhöhung des Index ausdrücken können und die -Sequenzen kann man dann auf die Koeffizienten der Potenzreihenalgebra als topologischen Abschluss einer Polynomalgebra mit Koeffizienten in anwenden.

Bemerkung: Stetigkeit und Stetigkeitsequenzen[Bearbeiten]

-Sequenzen können wegen der Stetigkeit der Multiplikation zu jedem und für jede topologische Algebra konstruiert werden. Kann man umgekehrt zu jedem mit eine -Sequenz konstruieren, dann ist die Multiplikation auf der Algebra stetig.

Bemerkung: Normalisierte Stetigkeitssequenzen[Bearbeiten]

Im Allgemeinen wird man nur normalisierte -Sequenzen betrachten, denn jede beliebige zu gewählte -Sequenz kann durch eine normalisierte -Sequenz ersetzen werden. Ist nämlich und , so ist auch ein stetiges -Funktional und damit ein Element von . Die Stetigkeitskonstanten werden erst später bei der Regularitätsdingung von Bedeutung sein.

Definition: Stetigkeitssequenz[Bearbeiten]

Sei ist eine topologische Algebra der Klasse . Eine Folge von Gaugefunktionalen mit

  • für alle
  • für alle ,
  • für alle ,

und heißt Stetigkeitssequenz kurz -Sequenz und sind die Stetigkeitskonstanten der Addition und Multiplikation. Die -Sequenz nennt man "normalisiert", falls für alle gilt.

Existenzsatz über Stetigkeitssequenzen[Bearbeiten]

In einer topologischen Algebra existiert zu jedem eine Stetigkeitsequenz

Beweis - Übungsaufgabe[Bearbeiten]

Nutzen Sie das Topologisierungslemma für topologische Algebren um die Aussage als Übungsaufgabe zu zeigen. Ergänzen Sie dazu die fehlenden Schritte in dem folgenden Beweisrumpf:

Beweis[Bearbeiten]

In der topologischen Algebra sei beliebig gewählt. Die Stetigkeitsequenz wird induktiv definiert und setzen für :

p-Homogenität - pseudokonve Algebren[Bearbeiten]

Für pseudokonvexe Algebren sei ein System von Quasihalbnormen. Falls mit einem System von -homogenen Gaugefunktionalsystem topologisiert wurde, ersetzen wir ohne Einschränkung das System der -Halbnormen durch ein äquivalentes System von Quasihalbnormen, das die gleiche Topologie erzeugt (siehe Korrespondenzsatz p-Halbnormen und Quasihalbnormen).

Stetigkeit der Addition[Bearbeiten]

Konstruktion von Gaugefunktionalfolgen[Bearbeiten]

Sei . Wir definieren nun zu jedem eine Folge von Gaugefunktionalen . Das Gaugefunktionalsystem sei ohne Einschränkung unital positiv. Die folgenden Berechnungen betrachten einige Abschlätzung bzgl. einer Folge von Gaugefunktionalen. Diese führen in den grundlegenden Umgang mit solchen Sequenzen von Gaugefunktionalen und Standardwerkzeugen zur Abschätzung ein.

Festlegung des ersten Gaugefunktionals[Bearbeiten]

Da das Gaugefunktionalsystem nach Voraussetzung unital positiv ist, gilt für alle . Für eine normalisierte -Sequenz zu definieren wir als ersten Gaugefunktional . Damit gilt:

.

Stetigkeit der Multiplkation[Bearbeiten]

Sei nun bereits induktiv definiert. Dann gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in der topologischen Algebra ein , für das gilt:

Ferner sei ohne Einschränkung . Falls das nicht der Fall wäre ersetzt man durch ein Minkowski-Funktional der kreisförmigen Nullumgebung mit und .

Supremumsgaugefunktional[Bearbeiten]

Sei nun bereits induktiv definiert. Wir betrachten nun die Teilmenge mit Über diese Mengen definieren man Supremumsgaugefunktionale der Form

Anwendung auf das Einselement 1[Bearbeiten]

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von erhält man:

Ferner wurde für die ""-Abschätzung verwendet.

Anwendung auf das Einselement 2[Bearbeiten]

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von erhält man:

Abschätzung Gaugefunktionale 1[Bearbeiten]

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von erhält man analog für beliebige :

Abschätzung Gaugefunktionale 2[Bearbeiten]

Unter Anwendung der absoluten Homogenität von erhält man analog für beliebige :

Abschätzung bzgl. Multiplikation[Bearbeiten]

Für erhält man:

Abschätzung Einselement[Bearbeiten]

Wegen gilt damit auch .

Definition:[Bearbeiten]

Zwei Systeme und auf einem topologischen Vektorraum heißen äquivalent (Bezeichnung: ), falls gilt:


Bemerkung[Bearbeiten]

Äquivalente Systeme erzeugen die gleiche Topologie. Wenn man ein gerichtetes System und ein festes gegeben hat und als weitere Indexmenge definiert, dann sind und äquivalente Systeme.


Definition:[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra und , zwei Folgen von Gaugefunktionalen in .Dann definiert man:


Lemma:[Bearbeiten]

Sei eine topologische Algebra und

sei eine Abbildung, dann gibt es für alle eine normalisierte -Sequenz mit

Beweis[Bearbeiten]

Sei und sei bereits induktiv definiert, dann erhält man wie folgt:

Wegen der Stetigkeit der Multiplikation gibt es ein mit

Da gerichtet ist, gibt es ein Funktional mit

Damit folgt die Behauptung durch Induktion über .

Siehe auch[Bearbeiten]

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