Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen

Einführung

Für die Erzeugung einer Algebraerweiterung von pseudokonvexen topologischen Algebren $A \in 𝒫 𝒞$ gibt es ein System von $p$ -Halbnormen, die die Topologie erzeugen. Für die Topologisierung der Potenzreihenalgebra $A [t] \in 𝒫 𝒞$ werden die Aussagen für die Algebraerweiterung aber über Quasihalbnormen geführt. Daher ist es wesentlich einen Zusammenhang zwischen Quasihalbnormen und $p$ -Halbnormen herzustellen. Das Korrespondenz-Lemma stellt diese Beziehung zwischen einer $p$ -Halbnorm und einer Quasinorm her.

Definition: p-Norm

Sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum und $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{0}^{+}, x \mapsto ‖ x ‖,$ eine Abbildung. Erfüllt $‖ \cdot ‖$ die folgenden Axiome Axiome P1,P2, P3, so heißt $‖ \cdot ‖$ $p$ -Norm auf $V$ mit $0 < p \leq 1$ .

(P1) Definitheit: $‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = 𝟘$ für alle $x \in V$ ,
(P2) p-Homogenität: $‖ λ \cdot x ‖ = | λ |^{p} \cdot ‖ x ‖$ für alle $x \in V$ und $λ \in 𝕂$
(P3) Dreiecksungleichung: $‖ x + y ‖ \leq ‖ x ‖ + ‖ y ‖$ für alle $x, y \in V$ .

Gilt (P1) nicht, so nennt man $‖ \cdot ‖$ $p$ -Halbnorm.

Einheitskreis einer p-Norm

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist im $ℝ^{2}$ eine Astroide.

Einheitskreis p-Norm als Abrollkurve

Aufgabe

Sei $V = ℝ^{2}$ der zweidimensionale $ℝ$ -Vektorraum und $‖ \cdot ‖_{p} : V \to ℝ_{0}^{+}, x \mapsto ‖ x ‖_{p},$ eine Abbildung, die mit $p = \frac{1}{2}$ wie folgt definiert ist.

‖ x ‖_{p} = ‖ (x_{1}, x_{2}) ‖_{p} := | x_{1} |^{p} + | x_{2} |^{p}

Zeigen Sie, dass $‖ \cdot ‖$ eine $p$ -Norm ist. Warum erzeugt die $p$ -Norm die gleiche Topologie, wie die Norm $‖ x ‖_{2} = ‖ (x_{1}, x_{2}) ‖_{2} := \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$ ?
Skizzieren Sie die folgende Menge $S_{1} := {(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2} : ‖ (x_{1}, x_{2}) ‖ = 1}$ und $S_{2} := {(x_{1}, x_{2}) \in ℝ^{2} : ‖ (x_{1}, x_{2}) ‖ \leq 1}$

Hinweis: Berechnen Sie $S_{1}$ zunächst für $x_{1}, x_{2} > 0$ und $‖ x ‖_{2} = 1$ !

Definition: Quasi(halb-)norm

Sei $V$ ein $𝕂$ -Vektorraum und $‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{0}^{+}, x \mapsto ‖ x ‖,$ eine Abbildung. Erfüllt $‖ \cdot ‖$ die folgenden Axiome Axiome Q1,Q2, Q3, so heißt $‖ \cdot ‖$ Quasinorm auf $V$ mit Konkavitätskonstante $K \geq 1$ .

(Q1) Definitheit: $‖ x ‖ = 0 \Rightarrow x = 𝟘$ für alle $x \in V$ ,
(Q2) absolute Homogenität: $‖ λ \cdot x ‖ = | λ | \cdot ‖ x ‖$ für alle $x \in V$ und $λ \in 𝕂$
(Q3) Konkavitätsungleichung: $‖ x + y ‖ \leq K \cdot (‖ x ‖ + ‖ y ‖)$ für alle $x, y \in V$ .

Gilt (Q1) nicht, so nennt man $‖ \cdot ‖$ Quasihalbnorm.

Bemerkung: konvex-konkav

Halbnormen erzeugen konvexe Nullumgebungen ist. Die Nullumgebungen von Quasihalbnormen bzw. $p$ -Halbnormen sind nicht notwendigerweise konvex bei $K > 1$ bzw. $p < 1$ . Für $K = 1$ bzw. $p = 1$ erhält man die Standarddefinition für Halbnormen bzw. Normen. Betrachtet man den Einheitskreis einer $p$ -Norm mit $p = \frac{2}{3}$ , so sieht man das die Einheitskugel nicht konvex ist. Durch den Zusammenhang durch den Korrespondenz-Satz und der Konkavitätskonstante in der Definition der Quasinorm ist zu erkennen, welchen geometrischen Einfluss das $p < 1$ auf die Konkavität der Einheitskugel der $p$ -Norm hat.

Korrespondenz-Lemma für p-Normen und Quasinormen

Ein topologischer Vektorraum $(V, 𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$ , dann $(V, 𝒯)$ genau dann $p$ -normierbar, wenn die Topologie $𝒯$ durch eine Quasinorm $‖ \cdot ‖_{Q}$ erzeugt werden kann.

Beweis

Um zu zeigen, dass ein Vektorraum mit einer Topologie $𝒯$ genau dann $p$ -normierbar ist, wenn die Topologie auch durch eine Quasinorm erzeugt werden kann, müssen wir zwei Richtungen beweisen:

Beweisteil 1 (PN-QN): Wenn die Topologie $𝒯$ durch eine $p$ -Norm erzeugt wurde, dann kann man $𝒯$ auch durch eine Quasinorm erzeugen.
Beweisteil 2 (QN-PN): Wenn die Topologie $𝒯$ durch eine Quasinorm erzeugt wurde, dann kann man $𝒯$ auch durch eine $p$ -Norm erzeugen.

Beweisteil 1 (PN-QN)

Wenn der Vektorraum durch eine $p$ -Norm (PN) topologisiert wurde, dann kann diese Topologie auch durch eine Quasinorm (QN) erzeugt werden.

Schritt 1.1 - Definition der Quasinorm

Sei $(V, 𝒯)$ ein topologischer Vektorraum mit einer Topologie $𝒯$ und sei $‖ \cdot ‖_{p}$ eine $p$ -Norm auf $X$ . Dann definieren wir eine Quasinorm $‖ \cdot ‖_{q}$ auf $X$ durch:

‖ x ‖_{q} = ‖ x ‖_{p}^{\frac{1}{p}}

Damit ist $‖ \cdot ‖_{q}$ absolut homogen.

Schritt 1.2 - Subadditiviät mit Konkavitätskonstante

Da $‖ \cdot ‖_{p}$ eine $p$ -Norm ist, gilt mit dem Konkavitätsmodul und $K := 2^{\frac{1}{p} - 1}$ :

‖ x + y ‖_{p}^{\frac{1}{p}} \leq (‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p})^{\frac{1}{p}} \leq \underset{\geq 1}{\underset{⏟}{2^{\frac{1}{p}}}} \cdot (‖ x ‖_{p}^{\frac{1}{p}} + ‖ y ‖_{p}^{\frac{1}{p}})

Durch die Definition von $‖ \cdot ‖_{q}$ erhält man:

‖ x + y ‖_{q} \leq 2^{\frac{1}{p}} (‖ x ‖_{q} + ‖ y ‖_{q}) = K \cdot (‖ x ‖_{q} + ‖ y ‖_{q})

Dies zeigt, dass $‖ \cdot ‖_{q}$ eine Quasinorm auf $X$ ist.

Beweisteil 2 (QN-PN)

Wenn der Vektorraum durch eine Quasinorm (QN) topologisiert wurde, dann kann diese Topologie auch durch eine $p$ -Norm (PN) erzeugt werden.

Schritt 2.1 - Konkavitätskonstante der Quasinorm

Da $‖ \cdot ‖_{q}$ eine Quasinorm ist, gilt:

‖ x + y ‖_{q} \leq K \cdot (‖ x ‖_{q} + ‖ y ‖_{q})

für eine Konstante $K$ . Man setzt $p$ so, dass $K = 2^{\frac{1}{p}}$ erfüllt sein soll. Also gilt $p := \frac{1}{\log_{2} (K)} = \frac{\ln (2)}{\ln (K)}$ mit $\log_{2} (K) = \frac{\ln (K)}{\ln (2)}$ .

Schritt 2.2 - Definition der p-Norm

Sei $(V, 𝒯)$ ein Vektorraum mit einer Topologie $𝒯$ und sei $‖ \cdot ‖_{q}$ eine Quasinorm auf $V$ . Dann definieren wir eine $p$ -Norm $‖ \cdot ‖_{p}$ auf $V$ durch:

‖ x ‖_{p} = ‖ x ‖_{q}^{1 / p}

Durch die Definition von $‖ \cdot ‖_{p}$ erhalten wir:

‖ x + y ‖_{p}^{p} \leq K^{p} \cdot (‖ x ‖_{p}^{p} + ‖ y ‖_{p}^{p})

Dies zeigt, dass $‖ \cdot ‖_{p}$ eine $p$ -Norm auf $X$ ist.

Insgesamt wurde gezeigt, dass ein Vektorraum mit einer Topologie $𝒯$ genau dann $p$ -normierbar ist, wenn dieser auch durch eine Quasinorm normiert werden kann.

Bemerkung

Der Beweis nach Köthe^[1] wird in dem Abschnitt zur $𝒫$ -Regulärität für lokalbeschränkte Algebren benötigtt.

Korrolar - Korrespondenz-Lemma

Ein topologischer Vektorraum $(V, 𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$ . Dann gilt: Ein Teilsystem der Topologie $𝒯_{o} \subseteq 𝒯$ wird genau dann durch eine $p$ -Halbnorm erzeugt, wenn das System der offenen $𝒯_{o}$ auch durch eine Quasihalbnorm $‖ \cdot ‖_{Q}$ erzeugt werden kann.

Beweis

Die Argumentation im Beweis zum Korrespondenz-Lemma für $p$ -Normen und Quasinormen nutzt die Hausdorff-Eigenschaft der Topologie nicht, die durch die Bedingung

$‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0_{V}$ bzw.
$‖ x ‖_{Q} = 0 ⟺ x = 0_{V}$

über das Norm bzw. Quasinorm ausgedrückt werden. Daher kann man die Beweisführung ebenfalls für ein Teilsystem der Topologie führen und erhält die Aussage für $p$ -Halbnormen und Quasihalbnormen.

Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume

Ein topologischer Vektorraum $(V, 𝒯)$ mit der Topologie $𝒯$ ist genau dann pseudokonvex, wenn die Topologie $𝒯$ durch eine System $‖ \cdot ‖_{α}^{(Q)}$ Quasihalbnormen topologisiert werden kann

Beweis

Betrachtet man nun eine $𝒫 𝒞$ -Algebra mit $‖ \cdot ‖_{𝒜}$ als $p$ -Halbnormensystem, so erzeugt jede einzelne p-Halbnorm $‖ \cdot ‖_{α}$ mit $α \in 𝒜$ ein lokalbeschränktes, aber nicht notwendig Hausdorff’sches, topologisches Teilsystem $𝒯_{α} \subset 𝒯$ von offenen Mengen der Ausgangstopologie $𝒯$ .

Beweis 1: Anwendung des Korrespondenz-Lemmas

Dieses Teilsystem kann man mit dem Korrespondenz-Satz für $p$ -Normen und Quasinormen auch durch eine Quasihalbnorm $‖ \cdot ‖_{α}^{(Q)}$ erzeugen, denn die Hausdorff-Eigenschaft ist für die Argumentation im Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen und Quasihalbnorm nicht von Bedeutung. Damit gelten die Ergebnisse nicht nur für $p$ -Normen sondern auch für $p$ -Halbnormen.

Beweis 2: Teilsystem offener Mengen der Topologie

Daher kann man jede p-Halbnorm $‖ \cdot ‖_{α}$ durch die entsprechende Quasihalbnormen $‖ \cdot ‖_{α}^{(Q)}$ ersetzen und man erzeugt durch diese Quasinorm das gleiche Teilsystem $𝒯_{α} \subset 𝒯$ der Ausgangstopologie. Die Topologie kann auch durch ein korrespondierendes Quasihalbnormensystem $‖ \cdot ‖_{𝒜}^{(Q)}$ erzeugt werden. $◻$

Beweis 3: Hausdorff-Eigenschaft und Definitheit eines Gaugefunktionals

Die Definitheit des p-Gaugefunktionals und die Hausdorff-Eigenschaft sind äquivalent. Erzeugt die Topologie insgesamt einen Hausdorff-Raum, dann muss man die Punktetrennung durch Topologie durch das System der $p$ -Halbnormen ausdrücken und man findet für alle $x ≠ 0_{_{V}}$ mindestens eine $p$ -Halbnorm bzw. Quasihalbnorm mit $‖ x ‖_{α} ≠ 0$ . Da jeden eine korrespondieren Quasihablnorm besitzt, ist auch Quasihalbnorm von 0 verschieden. Dies gilt umgekehrt auch die bestimmt Quasihalbnorm einen von 0 verschiedenen Wert liefert.

Bemerkung

Für das Korollar wendet man den Korrespondenzsatz auf ein System mit nur einer $p$ -Norm an, das den pseudokonvexen Raum topologisiert. Der Korrespondenz-Satz für pseudokonvexe Räume liefert dann ein System mit einer Quasinorm, das die gleiche Topologie erzeugt. In den Vorgehensweisen zur $𝒫$ -Regularität werden sowohl für

p-Normen eine Charakterisierung der $𝒫$ -regulären Elemente vorgenommen als auch die
P-Regularität über Algebraerweiterungen mit Quasinormen dargestellt.

Dies bereitet die Charakterisierung der PC-Regularität über Quasihalbnnormen vor. Für die Charakterisierung reicht der Nachweis über einen der beiden Wege (p-Norm oder Quasinorm)

Siehe auch

Quellennachweis

↑ Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York

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[1] Köthe Gottfried (1966) Topologische Lineare Räume, Berlin Heidelberg New York

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