Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2013)/Arbeitsblatt 4/kontrolle

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Übungsaufgaben

Die beiden ersten Aufgaben sollen dazu anregen, über die Güte von Dezimalbruchentwicklungen zu diskutieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

überein?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Stimmen die beiden reellen Zahlen

überein?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne von Hand die Approximationen im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von zum Startwert .


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).


Aufgabe Aufgabe 4.5 ändern

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Gleichung höchstens zwei Lösungen in besitzt.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

mit , .


Aufgabe Aufgabe 4.7 ändern

Es sei eine reelle Folge. Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn es für jedes ein derart gibt, dass für alle die Abschätzung gilt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge auf Konvergenz.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und zwei konvergente reelle Folgen mit für alle . Zeige, dass dann gilt.


Die folgende Aussage nennt man auch das Quetschkriterium für Folgen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien und drei reelle Folgen. Es gelte und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert . Zeige, dass dann auch gegen diesen Grenzwert konvergiert.


Für die folgende Aufgabe können Sie bekannte Eigenschaften der Sinusfunktion verwenden.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise die Aussagen (1), (3) und (5) von Lemma 4.7.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Sei . Zeige, dass die Folge gegen konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert . Zeige, dass dann auch die Folge

konvergiert, und zwar gegen .


In den beiden folgenden Aufgaben geht es um die Folge der Fibonacci-Zahlen.

Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Simpson-Formel oder Simpson-Identität für die Fibonacci-Zahlen . Sie besagt (für )


Aufgabe Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion die Binet-Formel für die Fibonacci-Zahlen. Diese besagt, dass

gilt ().


Aufgabe Referenznummer erstellen

Untersuche die durch

gegebene Folge () auf Konvergenz.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge.


Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 1.5 hilfreich.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Folge

gegen konvergiert.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten reellen Folge.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe Beispiele für konvergente reelle Folgen und mit , , und mit derart, dass die Folge

  1. gegen konvergiert,
  2. gegen konvergiert,
  3. divergiert.


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