Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 11

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Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und . Man mache sich nochmal die folgenden wichtigen Aussagen klar:

  1. Ist ein Eigenwert von , so ist .
  2. hat nur endlich viele Eigenwerte.
  3. ist genau dann Eigenwert von , wenn gilt.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

  1. Die lineare Abbildung ist ein Isomorphismus.
  2. ist kein Eigenwert von .
  3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ist .


Aufgabe

Sei

Berechne:

  1. die Eigenwerte von ;
  2. die zugehörigen Eigenräume;
  3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
  4. eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.


Aufgabe

Betrachte die Matrix . Untersuche ob diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von (d.h., oder ). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix mit an.


Aufgabe

Betrachte die Matrix

Löse das lineare Gleichungssystem mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf).




Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix . Untersuche ob diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von (d.h., oder ). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix und eine Diagonalmatrix mit an.



Aufgabe (4 Punkte)

Sei und ein reelles Polynom. Weiter sei ein Eigenvektor von zum Eigenwert .

  1. Zeige, dass ein Eigenvektor von zum Eigenwert ist.
  2. Wenn diagonalisierbar ist, so auch .




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