Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 11

Anwesenheitsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} (V)$. Man mache sich nochmal die folgenden wichtigen Aussagen klar:

1. Ist ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}\varphi$, so ist ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }(\varphi )=\ker(\varphi -\lambda \,id)$.
2. ${}\varphi$ hat nur endlich viele Eigenwerte.
3. ${}\lambda$ ist genau dann Eigenwert von ${}\varphi$, wenn ${}\chi _{\varphi }(\lambda )=0$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} (V)$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung ${}\varphi$ ist ein Isomorphismus.
2. ${}0$ ist kein Eigenwert von ${}\varphi$.
3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist ${}\neq 0$.

Aufgabe

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-4&6&6\\0&2&0\\-3&3&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Betrachte die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&2\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{2\times 2}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob ${}A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${}{\mathbb {K} }$ (d.h., ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix ${}C$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}D=C^{-1}AC$ an.

Aufgabe

Betrachte die Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&3\\1&0&1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} ).$

Löse das lineare Gleichungssystem ${}Ax=(1,0,2)^{t}$ mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf).

Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Matrix ${}A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}({\mathbb {K} })$. Untersuche ob ${}A$ diagonalisierbar ist in Abhängigkeit von ${}{\mathbb {K} }$ (d.h., ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix ${}C$ und eine Diagonalmatrix ${}D$ mit ${}D=C^{-1}AC$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}A\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ und ${}F=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in \mathbb {R} [X]$ ein reelles Polynom. Weiter sei ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Eigenvektor von ${}A$ zum Eigenwert ${}\lambda$.

1. Zeige, dass ${}v$ ein Eigenvektor von ${}F(A)$ zum Eigenwert ${}F(\lambda )$ ist.
2. Wenn ${}A$ diagonalisierbar ist, so auch ${}F(A)$.

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