Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27

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Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Zeige mittels Korollar 27.10, dass faktoriell ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien und die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige


Aufgabe (6 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne zu

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.


Aufgabe (9 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

 Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei der quadratische Zahlbereich zu . Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die kommutativen Ringe , und . Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.Tipp: nicht die Endomorphismen, also die Homomorphismen von nach , ignorieren.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein quadratischer Zahlbereich und ein Ideal in . Zeige, dass es ein Element mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximale Ideale gilt:


Aufgabe (5 Punkte)

Sei quadratfrei und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei ein Vielfaches von und . Zeige: ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 25.5.