Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 27

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R = A_{- 43}$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 43$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $R = A_{- 67}$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 67$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $R = A_{13}$ der quadratische Zahlbereich zu $D = 13$ . Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ faktoriell ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien $D$ und $E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien $A_{D}$ und $A_{E}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige

A_{D} \cap A_{E} = ℤ .

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $R = A_{- 15} = ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 15}}{2}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 15$ . Berechne zu

g = \frac{3}{10} - \frac{5}{6} \sqrt{- 15}

den zugehörigen Hauptdivisor und stelle ihn als Differenz zweier effektiver Divisoren dar.

Aufgabe (9 Punkte)

Es sei $R = A_{- 11} = ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 11}}{2}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 11$ . Berechne mittels des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von

35 + \sqrt{- 11} und - 89 + 21 \sqrt{- 11} .

Tipp: berechne zuerst die Normen der beiden Elemente und davon den ganzzahligen ggT.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $R = A_{- 7} = ℤ [\frac{1 + \sqrt{- 7}}{2}]$ der quadratische Zahlbereich zu $D = - 7$ . Bestimme die Primfaktorzerlegung von

4 + 9 \sqrt{- 7} .

Aufgabe (6 Punkte)

Betrachte die kommutativen Ringe $ℤ / (13)$ , $ℤ / (169)$ und $𝔽_{169}$ . Bestimme alle Ringhomomorphismen zwischen diesen drei Ringen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei $R$ ein quadratischer Zahlbereich und $𝔞 \neq 0$ ein Ideal in $R$ . Zeige, dass es ein Element $f \in 𝔞$ mit der Eigenschaft gibt, dass für alle maximalen Ideale $𝔪$ gilt:

f \in 𝔪 genau dann, wenn 𝔞 \subseteq 𝔪 .

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und $D = 2, 3 mod 4$ . Zeige: $A_{D}$ ist nicht faktoriell.

Tipp: Siehe Aufgabe 25.5.