Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 11

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.


Aufgabe

Berechne den Ausdruck

für . Handelt es sich dabei um Primzahlen?


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass es unendlich viele normierte irreduzible Polynome in gibt.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

für reelles divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

für eine komplexe Zahl mit absolut konvergiert.


Aufgabe

Berechne den Wert der Reihe


Aufgabe

Zeige, dass das uneigentliche Integral

divergiert.


Welche Beziehung besteht zwischen der vorstehenden Aufgabe und Satz 11.7?

Aufgabe

Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.


Aufgabe

Zeige, dass es eine gerade Zahl , , mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen derart gibt, dass auch eine Primzahl ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Dirichlet, dass eine Primzahl modulo unendlich vieler Primzahlen ein quadratischer Rest ist, aber auch modulo unendlich vieler Primzahlen ein nichtquadratischer Rest.


Aufgabe

Zeige, dass es keine unendlich lange arithmetische Progression gibt, die nur aus Primzahlen besteht.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die modulo den Rest besitzen.


Aufgabe (6 Punkte)

Von wie vielen Zahlen ist „durchschnittlich“ die Zahl der kleinste Primteiler? Erläutere dabei, warum diese Frage durchaus einen Sinn macht. Beschreibe alle Zahlen, deren kleinster Primteiler ist (begründe!).

Beantworte die entsprechenden Fragen für eine beliebige Primzahl. Bis zu welcher Primzahl muss man gehen, damit durchschnittlich mindestens (oder oder ) aller Zahlen einen Primteiler besitzen.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die Anzahl

unbeschränkt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das unendliche Produkt



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