Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 12

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Übungsaufgaben

Aufgabe *

Betrachte die Quadratrestgruppe

wobei die Untergruppe der Quadrate bezeichne. Zeige, dass es zu jeder Restklasse einen Repräsentanten aus gibt.


Aufgabe

Zeige, dass für jedes die Abschätzungen

gelten.


Aufgabe *

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von .


Aufgabe *

Bestimme die Primfaktorzerlegung von .


Aufgabe

Bestimme die Primfaktorzerlegung von


Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Bertrandschen Postulats, dass für jedes der Binomialkoeffizient

einen Primfaktor größer als besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass für die Fakultät keine Quadratzahl ist.


Aufgabe *

Sei . Zeige, dass das Produkt von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von geteilt wird.


Zur Erinnerung.

Aufgabe

Zeige, dass die Logarithmen zur Basis die folgenden Rechenregeln erfüllen.

  1. Es ist und , das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zur Basis .
  2. Es gilt
  3. Es gilt für .
  4. Es gilt


Aufgabe

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei die Eulersche Funktion. Zeige, dass die Folge , , sowohl in als auch in einen Häufungspunkt besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise Korollar 12.5, also die Aussage, dass

ist, mit Hilfe von Korollar 11.6 über die Riemannsche -Funktion.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme anhand des Beweises der Ungleichungen von Tschebyschow einen expliziten Wert für mit .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige unter Verwendung der Ungleichungen von Tschebyschow, dass es (zumindest für hinreichend groß) mehr Primzahlen zwischen und als zwischen und gibt.



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