Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 10

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Seien und ungerade. Zeige, dass keine Quadratzahl ist.


Aufgabe

Sei ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass oder ein Vielfaches von ist.


Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen mit

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen und eine rationale Zahl mit


Aufgabe

Zeige, dass die in Satz 10.4 beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist.


Aufgabe

Skizziere ein Dreieck derart, dass eine Höhe das Dreieck in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke und unterteilt so, dass die Seitenlängen von und jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge

mit der Multiplikation in eine kommutative Gruppe ist.


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von .


Aufgabe

Es sei

der rationale Einheitskreis mit der aus ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei

eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in . Berechne auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass

ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist.


Aufgabe

Zeige, dass der rationale Einheitskreis (als Gruppe) nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen und nicht isomorph sind.


Aufgabe

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Zeige mit Hilfe des pythagoreischen Tripels , dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Aufgabe *

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Aussage, dass keine ganzzahlige nichtriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ist.


Aufgabe

Zeige, dass die quadratische Gleichung

keine ganzzahlige Lösung besitzt.


Aufgabe *

Zeige, dass in die Gleichung

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem und .


Aufgabe

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung für die diophantische Gleichung

für .


Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.


Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung

für keine von verschiedene Lösung besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In , wobei eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl mit und sei eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, . Sei ein ungerader Teiler von . Dann ist ein Quadratrest modulo .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in alle Lösungen der Gleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in alle Lösungen der diophantischen quadratischen Gleichung


Aufgabe (4 Punkte)

Approximiere die (obere) primitive dritte Einheitswurzel auf dem rationalen Einheitskreis mit einem Fehler von maximal .


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