Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}x$ und ${}y$ ungerade. Zeige, dass ${}x^{2}+y^{2}$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass ${}x$ oder ${}y$ ein Vielfaches von ${}3$ ist.

Aufgabe *

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

{}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.

Aufgabe

Zeige, dass die in Satz 10.4 beschriebene rationale Parametrisierung des Einheitskreises injektiv ist.

Skizziere ein Dreieck ${}D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck ${}D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge

{}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,

mit der Multiplikation in ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ eine kommutative Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei

{}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Berechne die ersten vier Potenzen von ${}{\frac {3}{5}}+{\frac {4}{5}}{\mathrm {i} }\in S_{\mathbb {Q} }^{1}$ .

Aufgabe

Es sei

{}S_{\mathbb {Q} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,

der rationale Einheitskreis mit der aus ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }$ ererbten Gruppenstruktur. Zeige, dass die Gruppen ${}S_{\mathbb {Q} }^{1}$ und ${}\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ nicht isomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass der Einheitskreis

{}S_{\mathbb {R} }^{1}={\left\{z\in \mathbb {R} [{\mathrm {i} }]\cong {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert =1\right\}}\,

isomorph zu ${}\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei

{}n=r^{2}+s^{2}=(r+{\mathrm {i} }s)(r-{\mathrm {i} }s)\,

eine Summen von zwei Quadraten mit der zugehörigen Zerlegung in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ . Berechne ${}n^{2}$ auf zwei verschiedene Weisen und zeige damit, dass

{\frac {r^{2}-s^{2}+2rs{\mathrm {i} }}{n}}

ein Punkt auf dem rationalen Einheitskreis ist.

Aufgabe

Zeige, dass der rationale Einheitskreis (als Gruppe) nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe

Zeige, dass die beiden kommutativen Gruppen ${}(\mathbb {Q} ,0,+)$ und ${}(\mathbb {Q} _{+},1,\cdot )$ nicht isomorph sind.

Aufgabe

Zeige, dass der Gruppenhomomorphismus

\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]^{\times }\longrightarrow (\mathbb {Q} _{+},1,\cdot ),\,x+{\mathrm {i} }y\longmapsto x^{2}+y^{2},

nicht surjektiv ist.

Aufgabe

Zeige mit Hilfe des pythagoreischen Tripels ${}(9,40,41)$ , dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ${}5$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ${}2$ ist.

Aufgabe *

Zeige mit Hilfe der Aussage, dass ${}x^{4}-y^{4}=z^{2}$ keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich ${}1$ ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die quadratische Gleichung

{}x^{2}-5y^{2}=2\,

keine ganzzahlige Lösung besitzt.

Aufgabe *

Zeige, dass in ${}\mathbb {Z} /(29)$ die Gleichung

{}x^{4}+y^{4}+z^{4}=0\,

nur die triviale Lösung ${}(0,0,0)$ besitzt.

Aufgabe

Finde eine nichttriviale ganzzahlige Lösung für das Gleichungssystem ${}ab=c$ und ${}(a-1)d=c-1$ .

Aufgabe

Finde mindestens eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {N} _{+}\times \mathbb {N} _{+}$ für die diophantische Gleichung

{}x^{k}+1=y^{n}\,

für ${}k,n\geq 2$ .

Aufgabe

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten ${}n\geq 3$ zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.

Aufgabe

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung

{}x^{n}+y^{n}+z^{n}=0\,

für ${}n\geq 2$ keine von ${}(0,0,0)$ verschiedene Lösung besitzt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In ${}\mathbb {Z} /(p)$ , wobei ${}p$ eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit ${}p=1\mod 4$ und sei ${}p=x^{2}+y^{2}$ eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten, ${}x,y\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}k$ ein ungerader Teiler von ${}x$ . Zeige: Dann ist ${}k$ ein Quadratrest modulo ${}p$ .