Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 21/latex

\setcounter{section}{21}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} mit der $\Z$-\definitionsverweis {Basis}{}{} \mathkor {} {1} {und} {\omega} {} und einem von $0$ verschiedenen \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$. Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ s \mid \text{Es gibt } r + s \omega \in {\mathfrak a} \right\} }} { }
ein Ideal in $\Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{,} wobei ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} bezeichnet. Zeige, dass
\mathl{N(f)}{} ein Vielfaches der \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak a}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N ( {\mathfrak a} ) }
{ =} { \operatorname{GgT} ( { \left\{ N(f) \mid f \in {\mathfrak a} \right\} } ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{R=A_{D}}{} ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mathl{f \in R}{} mit
\mathl{(f) \cap \Z =(N(f))}{.} Zeige auf zwei verschiedene Arten, dass es \zusatzklammer {mit der Notation des Beweises von Satz 21.1} {} {} eine $\Z$-Basis des Ideals $(f)$ gibt mit
\mathl{\beta=1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ mit der Eigenschaft, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak a}$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist. Zeige, dass ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und ${\mathfrak m}$ ein \definitionsverweis {maximales Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} $p$ derart gibt, das ${\mathfrak m}$ eine $\Z$-\definitionsverweis {Basis}{}{} der Form \mathkor {} {p} {und} {\alpha + p \omega} {} oder der Form \mathkor {} {p} {und} {\alpha + \omega} {} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A_{10}=\Z[\sqrt{10}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=10}{.} Bestimme gemäß Satz 21.1 eine $\Z$-Basis des Ideals
\mathl{(3+4 \sqrt{10})}{} und bestimme damit die \definitionsverweis {Norm des Ideals}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A_{-10}=\Z[\sqrt{-10}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-10}{.} Zeige, dass das Ideal
\mathl{(6+5 \sqrt{-10}, 3 - 2 \sqrt{10})}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist und gebe einen Erzeuger an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_7 }
{ = }{ \Z[\sqrt{7}] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme gemäß Satz 21.1 eine $\Z$-Basis des \definitionsverweis {Ideals}{}{} $(3 + 2 \sqrt{7})$ und bestimme damit die \definitionsverweis {Norm}{}{} des Ideals.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{D =2,3 \mod 4}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} und
\mathl{f=n+m \sqrt{D}}{.} Es sei $t$ der \definitionsverweis {größte gemeinsame Teiler}{}{} von \mathkor {} {n} {und} {m} {.} Bestimme
\mathl{(f) \cap \Z}{} und $\beta$ im Sinne von Satz 21.1.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige unter Verwendung der \definitionsverweis {Norm}{}{,} dass jedes Element
\mathl{f \in R}{,}
\mathl{f \neq 0}{,} eine Faktorisierung in \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{D\neq 0,1}{} eine \definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{1 \mod 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ = }{ ( \omega) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} im \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{} $A_D$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathl{{\mathfrak a} \cap \Z[\sqrt{D} ]}{} kein Hauptideal in $\Z[\sqrt{D} ]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere für den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \Z[ \frac{-1+\sqrt{3} { \mathrm i} }{2}] }
{ \cong} { \Z[Y]/(Y^2+Y+1) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Eisenstein-Zahlen}{}{} die Primzahlen aus $\Z$, die in $R$ verzweigt sind, träge sind oder zerfallen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine Primzahl und betrachte die quadratische Erweiterung
\mathl{{\mathbb Z}[ \sqrt{p}]}{.} Zeige, dass dies eine dichte Untergruppe der reellen Zahlen ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $H$ eine (additive) \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der reellen Zahlen $\R$. Zeige, dass entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H }
{ = }{{\Z} a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen reellen Zahl $a$ ist, oder aber $H$ \definitionsverweis {dicht}{}{} in $\R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Zeige unter Verwendung des \definitionsverweis {Lemmas von Zorn}{}{,} dass es \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} in $R$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ {\mathfrak b} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei von $0$ verschiedene \definitionsverweis {Ideale}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} von ${\mathfrak b}$ die Norm von ${\mathfrak a}$ teilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $D$ eine quadratfreie Zahl, sei
\mathl{R=\Z[\sqrt{D}]}{} und sei $A_D$ der zugehörige Ganzheitsring. Zeige, dass für jede ungerade Primzahl $p$ ein Isomorphismus
\mathdisp {\Z[\sqrt{D}]/(p) \longrightarrow (A_D)/(p)} { }
vorliegt. Zeige durch ein Beispiel, dass dies bei
\mathl{p=2}{} nicht sein muss.

}
{} {}