Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 21

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Ideale und ihre Norm in einem quadratischen Zahlbereich

Wir beschreiben nun die Ideale in einem quadratischen Zahlbereich genauer. Eine Strukturtheorie ist wichtig in Hinblick auf die Endlichkeit der Klassenzahl. Wir wissen bereits aufgrund von Korollar 18.9, dass jedes von verschiedene Ideal von zwei Elementen über erzeugt wird. Genauer gilt.



Satz  

Sei ein quadratischer Zahlbereich mit Ganzheitsbasis (im Sinne von Satz 20.9) und sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann besitzt eine -Basis aus zwei Elementen und , wobei mit und

mit

gewählt werden kann.

Beweis  

Seien und wie im Satz beschrieben gewählt. Da und nicht sind folgt, dass und linear unabhängig über sind. Es bleibt also zu zeigen, dass jedes Element sich als mit schreiben lässt. Es gibt eine Darstellung

mit . Dann ist . Die Zahlen und beschreiben beide einen -Koeffizienten von Elementen in , und war betragsmäßig minimal gewählt, so dass ganzzahlig sein muss (alle -Koeffizienten bilden ein Ideal in ). Wir ziehen in der obigen Gleichung ab und erhalten

und dies gehört zu . Also handelt es sich um ein ganzzahliges Vielfaches von und somit ist auch .


In der soeben konstruierten -Basis von können wir sowohl als auch positiv wählen. Der Restklassenring ist eine endliche Erweiterung des endlichen Ringes , also selbst endlich. Im folgenden Diagramm sind die beiden horizontalen Abbildungen injektiv.

Wegen der surjektiven Abbildung und aufgrund von Korollar 18.11 wissen wir, dass der Restklassenring maximal Elemente besitzt.


Beispiel  

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal

Da es sich nicht um das Einheitsideal handelt, ist unmittelbar klar, dass bereits eine -Basis im Sinne von Satz 21.1 vorliegt. Die Norm dieses Ideals ist . Die Normen der beiden Elemente sind

und




Satz  

Sei ein quadratischer Zahlbereich mit -Basis und und sei ein von Null verschiedenes Ideal in . Es sei und eine -Basis (mit positiv) wie im Satz 21.1 konstruiert. Dann werden die Elemente im Restklassenring eindeutig durch die Elemente

repräsentiert. Insbesondere besitzt der Restklassenring Elemente.

Beweis  

Sei ein beliebiges Element in . Durch Addition von Vielfachen von kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen und liegt. Durch Addition von Vielfachen von kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen und liegt, ohne die zweite Komponente zu verändern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repräsentiert.

Seien nun und im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repräsentieren. Sei . Dann gehört die Differenz zu und die zweite Komponente liegt zwischen und . Aufgrund der Wahl von muss diese Komponente sein. Dann ist aber ein Vielfaches von und wegen muss sein, so dass also die beiden Elemente übereinstimmen und der Repräsentant eindeutig ist.



Definition  

Sei quadratfrei und der zugehörige quadratische Zahlbereich. Sei ein von verschiedenes Ideal in . Dann nennt man die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit

bezeichnet.

Mit der Norm lässt sich obiger Satz wie folgt ausdrücken.



Korollar  

Sei ein quadratischer Zahlbereich mit -Basis und und sei ein von verschiedenes Ideal in . Es sei und eine -Basis von (mit positiv) wie im Satz 21.1 konstruiert. Dann ist

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 21.3.




Korollar  

Sei ein quadratischer Zahlbereich mit -Basis und und sei ein von verschiedenes Ideal in . Es sei und eine -Basis von . Dann ist

Beweis  

Die Aussage ist für eine -Basis der Form und , wie sie im Satz 21.1 konstruiert wurde, richtig. Für eine beliebige -Basis gibt es eine Übergangsmatrix mit und . Dabei ist ganzzahlig und ihre Determinante hat den Betrag , so dass sich der Betrag der Determinante der Basis nicht ändert.


Für ein Element und das davon erzeugte Hauptideal stimmen die beiden Normbegriffe überein.



Satz  

Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Element. Setze . Dann gilt .

Beweis  

Sei mit

Die Norm von ist dann

Wir berechnen nun die Norm des von erzeugten Ideals mit Hilfe von Korollar 21.6. Eine -Basis des Ideals ist offenbar gegeben durch und , wobei

ist. Im ersten Fall haben wir

und im zweiten Fall ist

was mit den obigen Ergebnissen übereinstimmt.



Beispiel  

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal

Wir behaupten, dass es kein Hauptideal ist und verwenden dabei, dass die Norm dieses Ideals gleich ist. Wäre nämlich mit einem , so müsste nach Satz 21.7 auch

gelten. Allerdings ist die Norm von gleich und dies kann nicht gleich sein.



Beispiel  

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich zu das Ideal , das nach Beispiel 21.8 kein Hauptideal ist. Es sei der ganze Abschluss von (oder von ) im Erweiterungskörper vom Grad vier über . Wir haben also eine Kette

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das Erweiterungsideal

ein Hauptideal in ist, und zwar behaupten wir, dass ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element . Wegen

erfüllt eine Ganzheitsgleichung über und gehört somit zu (ebenso, wenn im Zähler da ein Minuszeichen steht). Die Gleichheit

folgt einerseits aus

und

und andererseits aus




Satz  

Sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein von verschiedenes Ideal in .

Dann gilt

Beweis  

Sei durch eine -Basis wie im Satz 21.1 gegeben. Das konjugierte Ideal hat die Basis und . Das Produktideal hat die vier Erzeuger

Wir behaupten, dass dieses Ideal gleich dem von erzeugten Ideal ist, was ja nach Korollar 21.5 die Norm von ist. Zunächst teilt sowohl als auch : Wegen hat man nämlich eine Darstellung

mit . Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich einerseits und andererseits , woraus nach Kürzen mit sich

ergibt. Insbesondere ist

Mit dem Ideal können wir wegen

und wegen annehmen, dass ist.

In dieser neuen Situation müssen wir zeigen. Aufgrund von haben wir die Inklusion . Wir betrachten die Inklusionskette (in )

Es sei der Erzeuger des Ideals links. Wir behaupten zunächst, dass die linke Inklusion eine Gleichheit ist. Dafür betrachten wir die Norm und die Spur von und erhalten

und

Damit gehören die Norm und die Spur zu und damit ist nach Lemma 20.8 das Element selbst ganz und somit ist ein Vielfaches von . Wir wissen also

und damit ist . Also wird von geteilt und in der Inklusionskette gilt Gleichheit.




Korollar  

Sei ein quadratischer Zahlbereich und seien und von Null verschiedene Ideale in . Dann gilt

Beweis  

Wir wenden Satz 21.10 wiederholt für Ideale an und erhalten

Da die Norm eines Ideals stets positiv ist folgt aus dieser Idealidentität die Gleichheit .


Die obige Definition der Norm eines Ideals, die wir nur für quadratische Zahlbereiche gefasst haben, lässt sich auf beliebige Zahlbereiche erweitern. Dafür gelten entsprechende Eigenschaften, was wir im Rahmen dieser Vorlesung nicht ausführen werden.


Definition  

Zu einem Ideal in einem Zahlbereich heißt die (endliche) Anzahl des Restklassenringes die Norm von . Sie wird mit

bezeichnet.


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