Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 20

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+{\frac {3}{2}}X-{\frac {5}{7}}\right)}\,.$

Aufgabe

Zeige, dass die Konjugation auf ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]$ ein Körperautomorphismus und auf ${}A_{D}$ ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich ${}\mathbb {Q}$ bzw. gleich ${}\mathbb {Z}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die ${}1$ Teil einer Ganzheitsbasis von ${}R$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Konjugation für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe

Bestimme die Spur für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe

Bestimme die Norm für ${}{\sqrt {D}}$ bzw. für ${}\omega$ in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.

Aufgabe

Es seien ${}D$ und ${}E$ zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien ${}A_{D}$ und ${}A_{E}$ die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige

${}A_{D}\cap A_{E}=\mathbb {Z} \,.$

Aufgabe *

Bestimme ein Element aus ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-11}}]$, das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}D\neq 0,1$ quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe ${}A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$.

Aufgabe

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$, und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ über ${}\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

Aufgabe

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche ${}A_{D}$ mit negativem ${}D$ sämtliche Einheiten.

Aufgabe *

Für welche quadratfreien Zahlen mit

${}D=1\mod 4\,$

ist ${}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine Einheit?

Aufgabe

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$ das Element ${}8+3{\sqrt {7}}$ eine Einheit ist.

Aufgabe

Finde ein quadratfreies ${}D$ derart, dass die natürliche Inklusion

${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subseteq A_{D}\,$

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {q}}$ und ${}{\mathfrak {q}}'$ in ${}A_{D}$ gibt, die beide über dem gleichen Primideal ${}{\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ liegen. Was ist ${}{\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z}$?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring über ${}\mathbb {Z} /(p)$ nicht reduziert ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl ${}p$ einen ${}\mathbb {Z} /(p)$- Algebraisomorphismus des Faserringes über ${}p$ in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Lemma 19.9 bzw. Satz 20.13.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung ${}\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$. Es sei ${}p$ ein Primfaktor von ${}D$ und es sei vorausgesetzt, dass weder ${}p$ noch ${}-p$ ein Quadratrest modulo ${}D/p$ ist. Dann ist ${}p$ irreduzibel in ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$, aber nicht prim.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {7}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=29$ liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {15}}]$. Bestimme die Primideale in ${}R$, die über ${}p=17$ liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ${}2$ im Ring ${}{\mathbb {Z} }[{\sqrt {5}}]$ irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in ${}A_{5}$ aus?