Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 20

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den (Isomorphietyp des) Ganzheitsringes der quadratischen Körpererweiterung


Aufgabe

Zeige, dass die Konjugation auf ein Körperautomorphismus und auf ein Ringautomorphismus ist. Zeige, dass der Invariantenring gleich bzw. gleich ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Teil einer Ganzheitsbasis von ist.


Aufgabe

Bestimme die Konjugation für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe

Bestimme die Spur für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe

Bestimme die Norm für bzw. für in den verschiedenen expliziten Beschreibungen für die quadratischen Zahlbereiche.


Aufgabe

Seien und zwei verschiedene quadratfreie Zahlen und seien und die zugehörigen quadratischen Zahlbereiche. Zeige


Aufgabe *

Bestimme ein Element aus , das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.


Aufgabe

Sei quadratfrei. Bestimme die Restklassengruppe .


Aufgabe

Sei eine quadratfreie Zahl mit , und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für über an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe gibt.


Aufgabe

Bestimme für die quadratischen Zahlbereiche mit negativem sämtliche Einheiten.


Aufgabe *

Für welche quadratfreien Zahlen mit

ist eine Einheit?


Aufgabe

Zeige, dass in das Element eine Einheit ist.


Aufgabe

Finde ein quadratfreies derart, dass die natürliche Inklusion

die Eigenschaft besitzt, dass es zwei verschiedene Primideale und in gibt, die beide über dem gleichen Primideal liegen. Was ist ?


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass es nur endlich viele Primzahlen mit der Eigenschaft gibt, dass der Faserring über nicht reduziert ist.


Aufgabe

Es sei ein quadratischer Zahlbereich. Zeige, dass die Konjugation zu jeder Primzahl einen -Algebraisomorphismus des Faserringes über in sich selbst induziert. Beschreibe diesen in den drei möglichen Fällen im Sinne von Lemma 19.9 bzw. Satz 20.13.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Sei eine quadratfreie Zahl und betrachte die quadratische Erweiterung . Es sei ein Primfaktor von und es sei vorausgesetzt, dass weder noch ein Quadratrest modulo ist. Dann ist irreduzibel in , aber nicht prim.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen und zeige, dass es sich um Hauptideale handelt.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Bestimme die Primideale in , die über liegen (man gebe Idealerzeuger an). Handelt es sich um Hauptideale?


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass im Ring irreduzibel, aber nicht prim ist. Wie sieht es in aus?



<< | Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)