Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 24/latex

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\setcounter{section}{24}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass die Abbildung, die einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} den \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div}(q)}{} zuordnet, folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungzwei {Es ist
\mathl{\operatorname{div}(q_1q_2)= \operatorname{div}(q_1)+ \operatorname{div}(q_2)}{.} } {Es ist
\mathl{\operatorname{div}(q_1 +q_2) \geq \min\{ \operatorname{div}(q_1), \operatorname{div}(q_2) \}}{.} } Zeige insbesondere, dass diese Zuordnung einen \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\mathl{Q(R) \setminus \{0\} \rightarrow \operatorname{Div}(R)}{} definiert und dass die Hauptdivisoren eine Untergruppe der Divisoren bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mathbed {f \in Q(R)} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass
\mathl{f \in R}{} genau dann gilt, wenn der \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{}
\mathl{\operatorname{div} (f)}{} ein \definitionsverweis {effektiver Divisor}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Definiere zu einem \definitionsverweis {Divisor}{}{} $D$ den \anfuehrung{konjugierten Divisor}{} $\overline{D}$. Zeige, dass für
\mathl{q \in Q(R)}{,}
\mathl{q \neq 0}{,} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{\operatorname{div} (q)} }
{ =} {\operatorname{div} (\overline {q}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mathl{R =A_{14}=\Z[\sqrt{14}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=14}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{3}{5} - \frac{1}{7} \sqrt{14}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { \Z[\sqrt{-6}] }
{ \cong} { \Z[X]/(X^2+6) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Berechne den Hauptdivisor zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{q }
{ =} {\frac{4}{5} + \frac{2}{3} \sqrt{-6} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RationalDegree2byXedi.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { RationalDegree2byXedi.svg } {} {Krishnavedala} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabb {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {,} die an der Stelle
\mathl{2- { \mathrm i}}{} einen Pol der Ordnung $4$, in
\mathl{-3 +5 { \mathrm i}}{} eine Nullstelle der Ordnung $2$ und in $-3$ einen Pol der Ordnung $3$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} \maabb {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {.} Zeige, dass $f$ in
\mathl{a \in {\mathbb C}}{} eine Nullstelle der Ordnung $n$ genau dann besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $n$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme einen Erzeuger für das gebrochene Ideal ${\mathfrak f} \subseteq \Q$, das durch die rationalen Zahlen
\mathdisp {\frac{4}{7}, \, \frac{7}{10}, \, \frac{13}{8}\,} { }
erzeugt wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Der Floh Kurt lebt auf einem unendlichen Lineal und befindet sich in der Nullposition. Er verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{11}{77}, \;\frac{25}{49},\; \frac{82}{15}} { . }
Berechne das zugehörige \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{,} das seinem Lebensraum entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei
\mathl{R=\Z[ { \mathrm i} ]}{.} Berechne einen Erzeuger für das gebrochene Ideal aus
\mathl{Q(R)=\Q[{ \mathrm i}]}{,} das durch die beiden Erzeuger
\mathdisp {\frac{5}{7} \text{ und } \frac{-8+6 { \mathrm i} }{5}} { }
gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} }
{ \subseteq} { Q(R) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {gebrochenes Ideal}{}{} zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f}^{-1} }
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak f} \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls ein gebrochenes Ideal ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak f} \cdot {\mathfrak g} }
{ =} { R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { {\mathfrak f}^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ mit dem zugehörigen effektiven Divisor $E$. Zeige, dass das inverse gebrochene Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}^{-1} }
{ =} { { \left\{ q \in Q(R) \mid q \cdot {\mathfrak a} \subseteq R \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gleich dem zu $-E$ gehörenden gebrochenen Ideal
\mathl{\operatorname{Id} (-E)}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass wenn es ein
\mathbed {r \in Q(R)} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { r {\mathfrak f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, dass dann die Multiplikation mit $r$, also \maabbeledisp {} {Q(R)} {Q(R) } {f} {rf } {,} einen $R$-\definitionsverweis {Modulisomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g} } {} induziert. } {Zeige, dass wenn es irgendeinen $R$-Modulisomorphismus \maabbdisp {\varphi} { {\mathfrak f} } { {\mathfrak g} } {} gibt, dass es dann schon ein
\mathl{r \in Q(R)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak g} }
{ =} { r {\mathfrak f} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt, und dass der Isomorphismus eine Multiplikation ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise Lemma 24.12.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Führe die Einzelheiten im Beweis zu Satz 24.13 aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise das Lemma von Dickson, das besagt, dass eine nichtleere Teilmenge
\mathl{T \subseteq \N^r}{} nur endlich viele minimale Elemente besitzt.

}
{} {}


Es sei \maabbdisp {\varphi} {A} {B } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} zwischen den \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} \mathkor {} {A} {und} {B} {.} Zu einem \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq A}{} nennt man das von
\mathl{\varphi { \left( {\mathfrak a} \right) }}{} \definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{} das \definitionswort {Erweiterungsideal}{} von ${\mathfrak a}$ unter $\varphi$. Es wird mit
\mathl{{\mathfrak a} B}{} bezeichnet.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {A} {B } {} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} und es seien
\mathl{{\mathfrak a}_1, {\mathfrak a}_2}{} \definitionsverweis {Ideale}{}{} in $A$. Beweise für die \definitionsverweis {Erweiterungsideale}{}{} die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a}_1 + {\mathfrak a}_2 \right) } B }
{ =} {{\mathfrak a}_1 B + {\mathfrak a}_2 B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( {\mathfrak a}_1 \cdot {\mathfrak a}_2 \right) } B }
{ =} { { \left( {\mathfrak a}_1 B \right) } \cdot { \left( {\mathfrak a}_2 B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei
\mathl{R =A_{-13}=\Z[\sqrt{-13}]}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-13}{.} Berechne zu
\mathdisp {q= \frac{2}{3} - \frac{5}{7} \sqrt{-13}} { }
den zugehörigen \definitionsverweis {Hauptdivisor}{}{} und stelle ihn als Differenz zweier \definitionsverweis {effektiver Divisoren}{}{} dar.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Die Flöhin Paola lebt in der komplexen Ebene und befindet sich im Nullpunkt. Sie verfügt über drei Sprünge, nämlich
\mathdisp {\frac{3}{4}-\frac{2}{5} { \mathrm i}, \, 2 +\frac{2}{3} { \mathrm i},\, \frac{1}{7}+ 7 { \mathrm i}} { . }
Man gebe eine einfache Beschreibung des \definitionsverweis {gebrochenen Ideals}{}{,} das ihrem Lebensraum entspricht.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige direkt, dass die \definitionsverweis {gebrochenen Ideale}{}{} $\neq 0$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bilden, und dass die gebrochenen Hauptideale darin eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Sei
\mathl{\mathfrak a=(f_1, \ldots, f_n)}{} (mit
\mathl{f_i \neq 0}{}) ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} $R$ und sei vorausgesetzt, dass das inverse \definitionsverweis {gebrochene Ideal}{}{} ${\mathfrak a}^{-1}$ die Gestalt
\mathdisp {{\mathfrak a}^{-1} = ( f_1^{-1}, \ldots, f_n^{-1} )} { }
hat. Zeige, dass $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} sein muss.

}
{} {}



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