Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 27/latex

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\setcounter{section}{27}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{R=A_{13}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=13}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak a} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft gibt, dass für alle \definitionsverweis {maximale Ideale}{}{} ${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass das \definitionsverweis {inverse Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^{-1}}{} zu
\mathl{{\mathfrak a}^m}{} äquivalent ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige mit Korollar 27.10, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} und
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {.} Definiere eine \anfuehrung{Divisorenklassengruppe}{} für die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$. Dabei soll wieder gelten, dass diese Divisorenklassengruppe genau dann $0$ ist, wenn $R_f$ faktoriell ist. Ferner soll es einen natürlichen surjektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { \operatorname{KG} { \left(R \right) } } { \operatorname{KG} { \left(R_f \right) } } {} geben.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und es seien
\mathl{Y_1 , \ldots , Y_n \subseteq X}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{Y= \bigcup_{i=1}^nY_i}{} kompakt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X,Y }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.} Zeige, dass es Punkte \mathkor {} {x \in X} {und} {y \in Y} {} mit der Eigenschaft gibt, dass für beliebige Punkte \mathkor {} {P \in X} {und} {Q \in Y} {} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(x,y) }
{ \leq} { d(P,Q) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {} Tipp: Betrachte die Produktmenge
\mathl{X \times Y \subseteq \R^{n} \times \R^n \cong \R^{2n}}{} und darauf die Abbildung
\mathl{(x,y) \mapsto \sum_{i =1}^n (x_i-y_i)^2}{.} Argumentiere dann mit Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2014-2016)).






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei
\mathl{R=A_{-43}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-43}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei
\mathl{R=A_{-67}}{} der \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-67}{.} Zeige mittels Korollar 27.10, dass $R$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{.} Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit der Eigenschaft gibt, dass die \definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{} $R_f$ faktoriell ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige \definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.} Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und
\mathl{D = 2,3 \mod 4}{.} Zeige: $A_D$ ist nicht \definitionsverweis {faktoriell}{}{.}

}
{} {Tipp: Siehe Aufgabe 25.20.}


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