Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Restklasse von
\mathl{2^{1563}}{} modulo $23$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne
\mathl{3^{1457}}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(13)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man berechne in $\Z/(80)$ die Elemente \aufzaehlungdrei{$3^{1234567}$, }{$2^{1234567}$, }{$5^{1234567}$. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise ausschließlich durch Anzahlbetrachtungen Lemma 5.9, dass also der kanonische Homomorphismus
\mathl{(\Z/(p^r))^\times \rightarrow (\Z/(p))^\times}{} surjektiv ist ($p$ Primzahl).

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die multiplikative \definitionsverweis {Ordnung}{}{} aller \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(11)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(23)$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{} $\Z/(13)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine ungerade \definitionsverweis {Primzahl}{}{} und
\mathl{\Z/(p)}{} der zugehörige \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{.} Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {primitiven Einheiten}{}{} niemals primitiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in der Einheitengruppe
\mathl{\Z/(17)^{\times}}{} zu jeder möglichen Ordnung $k$ ein Element
\mathl{x \in \Z/(17) ^{\times}}{,} das die Ordnung $k$ besitzt. Man gebe auch eine Untergruppe
\mathdisp {H \subseteq \Z/(17) ^{\times}} { }
an, die aus vier Elementen besteht.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.

a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring \zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}

b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?

c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.

d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{} $\varphi$ für natürliche Zahlen $n,m$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (\operatorname{ggT} (m,n))} \cdot {\varphi ( \operatorname{kgV} (m,n))} }
{ =} { {\varphi (n)} \cdot {\varphi (m)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${\varphi (n)}$ die \definitionsverweis {Eulersche Funktion}{}{.} Zeige die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ \geq} { { \frac{ \sqrt{n} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde \definitionsverweis {primitive Einheiten}{}{} in den \definitionsverweis {Restklassenkörpern}{}{}
\mathl{\Z/(13)}{,}
\mathl{\Z/(17)}{} und $\Z/(19)$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Gruppe der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in ${\mathbb C}$ und die Gruppe
\mathl{\Z/(n)}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.

}
{} {}

In den nächsten Aufgaben werden die folgenden Begriffe verwendet.

Ein Element $a$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {nilpotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für eine natürliche Zahl $n$ ist.

Ein Element $e$ eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} heißt \definitionswort {idempotent}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^2 }
{ = }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Primzahl und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $\Z/(p^n)$ nur die beiden trivialen \definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{} \mathkor {} {0} {und} {1} {} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten}{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von
\mathl{{\mathbb Z}/(60)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {} gleich $z$ ist.

b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates \zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {} gleich $z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {nilpotente Elemente}{}{.} Zeige, dass dann die Summe $f+g$ ebenfalls nilpotent ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ sowohl \definitionsverweis {nilpotent}{}{} als auch \definitionsverweis {idempotent}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {nilpotentes Element}{}{.} Zeige, dass $1+f$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \omega }
{ = }{ \frac{-1+ \sqrt{-3} }{2} }
{ = }{ \frac{-1+ \sqrt{3} { \mathrm i} }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Betrachte die beiden Unterringe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { \Z[\sqrt{-3}] }
{ \subset} {\Z[\omega] }
{ =} { S }
{ } { }
} {}{}{} der komplexen Zahlen \zusatzklammer {$S$ ist also der Ring der \definitionsverweis {Eisensteinzahlen}{}{}} {} {.} Finde ein Beispiel von zwei Elementen in $R$, die in $R$ nicht assoziiert sind, wohl aber in $S$. Man gebe daran anschließend ein Beispiel eines \definitionsverweis {irreduziblen Elementes}{}{} in $R$, das nicht \definitionsverweis {prim}{}{} ist (in $R$). Ist es prim in $S$?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $p$ eine ungerade Primzahl. Beweise unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass
\mathdisp {1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdots (p-4)^2 \cdot (p-2)^2 =(-1)^{\frac{p+1}{2} } \mod p} { }
gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Beweise die \stichwort {eulersche Formel} {} für die \definitionsverweis {eulersche Funktion}{}{,} das ist die Aussage, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\varphi (n)} }
{ =} { n \cdot \prod_{ p{{|}} n,\ p \text{ prim} } { \left( 1-{ \frac{ 1 }{ p } } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Elemente, die \definitionsverweis {idempotenten }{}{} Elemente und die \definitionsverweis {Einheiten }{}{} in
\mathl{{\mathbb Z}/(72)}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass für natürliche Zahlen $k$ und $n$ mit
\mathl{k \,{{|}} \, n}{} der kanonische Homomorphismus \maabbdisp {} { { \left( \Z/(n) \right) } ^{\times} } { { \left( \Z/(k) \right) } ^{\times} } {} surjektiv ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Charakterisiere diejenigen Teiler $k$ von $n$ mit der Eigenschaft, dass für den kanonischen Ringhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} { \Z/(n) } { \Z/(k) } {} gilt, dass $a$ in $\Z/(n)$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn $\varphi(a)$ in $\Z/(k)$ eine Einheit ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung \maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N } {} ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm) }
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Finde eine Fortsetzung \maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z } {} der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist \zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times} }
{ = }{ \Q \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

}
{} {}