Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle primitiven Elemente von .


Aufgabe

  1. Finde ein primitives Element in , in und in .
  2. Finde eine ganze Zahl, die in primitiv ist, aber nicht in .
  3. Zeige, dass jede ganze Zahl, die in primitiv ist, auch in primitiv ist.


Aufgabe

Man gebe für die Einheitengruppe explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.


Aufgabe

Sei eine Primzahl und . Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung


In der folgenden Aufgabe bezeichnet den Körper mit Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.

Aufgabe *

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratische Reste modulo der Primzahlen .


Aufgabe

Sei eine Primzahl mit . Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass eine Quadratwurzel von ist.


Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von in irreduzible Polynome im Polynomring . Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.


Aufgabe

Sei eine ungerade Primzahl und primitiv. Zeige, dass von den Elementen aus , die auf abgebildet werden, genau Stück primitiv in sind. Finde für und dasjenige Element mit , das nicht primitiv ist.


Aufgabe

Finde Quadratwurzeln für modulo für alle Primzahlen mit und .


Aufgabe

Zeige, dass eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist.


Aufgabe

Es sei

die Produktgruppe der endlichen Gruppen . Zeige die folgenden Aussagen.

  1. ist genau dann zyklisch, wenn alle zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise teilerfremd sind.


Aufgabe

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?


Aufgabe

Es seien und kommutative Ringe mit dem Produktring

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

für .


Aufgabe

Seien , und positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit die Teilbarkeit impliziert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl derart, dass zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ist, wobei die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn nicht zyklisch ist?


Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Sei ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

b) Sei ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und . Zeige, dass das Potenzieren

genau dann eine Bijektion ist, wenn und teilerfremd sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche diese Konstruktion einen Körper liefert.


Aufgabe (4 Punkte)

Seien und positive natürliche Zahlen. Seien , und , Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung

für alle gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge gegen konvergiert. Zeige, dass ein Teiler von ist.



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