Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 6

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme alle primitiven Elemente von ${}{\mathbb {Z} }/(27)$.

Aufgabe

1. Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(3)$, in ${}\mathbb {Z} /(9)$ und in ${}\mathbb {Z} /(27)$.
2. Finde eine ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(3)$ primitiv ist, aber nicht in ${}\mathbb {Z} /(9)$.
3. Zeige, dass jede ganze Zahl, die in ${}\mathbb {Z} /(9)$ primitiv ist, auch in ${}\mathbb {Z} /(27)$ primitiv ist.

Aufgabe

Man gebe für die Einheitengruppe ${}({\mathbb {Z} }/(16))^{\times }$ explizit einen Isomorphismus zu einem Produkt von (additiven) zyklischen Gruppen an.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}r\geq 2$. Beschreibe explizit die Elemente im Kern der Abbildung

$({\mathbb {Z} }/(p^{r}))^{\times }\longrightarrow ({\mathbb {Z} }/(p^{r-1}))^{\times }.$

In der folgenden Aufgabe bezeichnet ${}{\mathbb {F} }_{121}$ den Körper mit ${}121$ Elementen. Darüber hinaus muss muss man nichts über ihn wissen.

Aufgabe *

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratische Reste modulo der Primzahlen ${}<20$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit ${}p=1\mod 4$. Zeige unter Verwendung des Satzes von Wilson, dass ${}{\frac {p-1}{2}}!$ eine Quadratwurzel von ${}-1$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Zerlegung von ${}X^{p-1}-1$ in irreduzible Polynome im Polynomring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$. Beweise aus dieser Zerlegung den Satz von Wilson.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und ${}a\in \mathbb {Z} /(p)$ primitiv. Zeige, dass von den ${}p$ Elementen aus ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$, die auf ${}a$ abgebildet werden, genau ${}p-1$ Stück primitiv in ${}\mathbb {Z} /(p^{2})$ sind. Finde für ${}p=7$ und ${}a=3$ dasjenige Element ${}b\in \mathbb {Z} /(49)$ mit ${}b=a\mod 7$, das nicht primitiv ist.

Aufgabe

Finde Quadratwurzeln für ${}2$ modulo ${}p$ für alle Primzahlen ${}p$ mit ${}p=\pm 1\mod 8$ und ${}p\leq 32$.

Aufgabe

Zeige, dass eine Restklassengruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist.

Aufgabe

Es sei

${}G=H_{1}\times \cdots \times H_{n}\,$

die Produktgruppe der endlichen Gruppen ${}H_{1},\ldots ,H_{n}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}\exp G=\operatorname {kgV} (\exp H_{i},i=1,\ldots ,n)\,.$

2. ${}G$ ist genau dann zyklisch, wenn alle ${}H_{i}$ zyklisch sind und wenn deren Ordnungen paarweise teilerfremd sind.

Aufgabe

Was besagt die Artinsche Vermutung über primitive Reste?

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S_{1},\ldots ,S_{n}$ kommutative Ringe mit dem Produktring

${}S=S_{1}\times \cdots \times S_{n}\,.$

Zeige, dass ein Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

dasselbe ist wie eine Familie von Ringhomomorphismen

$\varphi _{i}\colon R\longrightarrow S_{i}$

für ${}i=1,\ldots ,n$.

Aufgabe

Es seien ${}a$, ${}b$ und ${}r$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Teilbarkeit ${}a^{r}{|}b^{r}$ die Teilbarkeit ${}a{|}b$ impliziert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl derart, dass ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ zyklisch ist. Zeige, dass die Anzahl der primitiven Elemente gleich ${}\varphi (\varphi (n))$ ist, wobei ${}\varphi$ die Eulersche Funktion bezeichnet. Wie groß ist deren Anzahl, wenn ${}{\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ nicht zyklisch ist?

Aufgabe (7 (3+2+2) Punkte)

a) Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}K$ nicht zyklisch unendlich ist.

b) Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, dessen Charakteristik nicht zwei ist. Zeige, dass die Einheitengruppe von ${}R$ nicht zyklisch unendlich ist.

c) Beschreibe einen kommutativen Ring, dessen Einheitengruppe zyklisch unendlich ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}e\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto x^{e},$

genau dann eine Bijektion ist, wenn ${}e$ und ${}p-1$ teilerfremd sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}{\mathbb {F} }_{p}=\mathbb {Z} /(p)$ der zugehörige Restklassenkörper. Konstruiere Ringe

${\mathbb {F} }_{p}[i]={\mathbb {F} }_{p}\oplus {\mathbb {F} }_{p}i=\{a+bi:a,b\in {\mathbb {F} }_{p}\}$

in der gleichen Weise, wie man die komplexen Zahlen definiert. Charakterisiere, für welche ${}p$ diese Konstruktion einen Körper liefert.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}a$ und ${}b$ positive natürliche Zahlen. Es seien ${}r_{n}\,,n\in \mathbb {N}$, und ${}s_{n}\,,n\in \mathbb {N}$, Folgen von positiven natürlichen Zahlen derart, dass die Teilbarkeitsbeziehung

$a^{r_{n}}{|}b^{s_{n}}$

für alle ${}n$ gilt. Es sei vorausgesetzt, dass die Quotientenfolge ${}r_{n}/s_{n}$ gegen ${}1$ konvergiert. Zeige, dass ${}a$ ein Teiler von ${}b$ ist.