Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 9/latex

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\setcounter{section}{9}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine Primzahl $p$ höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine ganze Zahl $n$ genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von $2$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ gleich $0$ oder $\geq 2$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in \definitionsverweis {diesem Diagramm}{}{} (oder \definitionsverweis {diesem}{}{)} die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.

}
{} {}

Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

01234567891+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i2+2i3+2i4+2i5+2i6+2i7+2i8+2i9+2i3+3i4+3i5+3i6+3i7+3i8+3i9+3i4+4i5+4i6+4i7+4i8+4i9+4i5+5i6+5i7+5i8+5i9+5i6+6i7+6i8+6i9+6i7+7i8+7i9+7i8+8i9+8i9+9iGaußsche Ebene, 1. Quadrant





\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme in $\Z [ { \mathrm i} ]$ die Primfaktorzerlegung von $8- { \mathrm i}$. Begründe, warum die Faktoren prim sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist, wenn $R$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} }
{ \cong} { \R[X]/ (X^2+1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ die Restklassendarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z[{ \mathrm i}] }
{ \cong} { \Z[X]/ (X^2+1) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{\Z[{\mathrm i} ]/(n)}{} genau $n^2$ Elemente besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{S=R/{\mathfrak a}}{.} Zu einem Ideal
\mathl{I \subseteq R}{} welches
\mathl{{\mathfrak a}}{} enthält, sei
\mathl{I^\prime=I R/{\mathfrak a}}{} das zugehörige Ideal in $S$. Zeige, dass es eine kanonische \definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R /I }
{ \cong} { S/I^\prime }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme mit Hilfe von Bemerkung 9.4 eine Quadratwurzel von $-1$ in
\mathl{\Z/(41)}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die Zahlen $n$ zwischen
\mathl{155}{} und
\mathl{159}{,} ob $n$ die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Finde für alle Zehnerpotenzen
\mathl{\geq 10}{} eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $n$ eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung $r$ Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt $n$ maximal?

}
{} {}




\inputaufgabe
{7 (1+1+1+4)}
{

Für einen Körper $K$ bezeichnet
\mathl{K^{\times 2} \subseteq K^\times}{} die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe
\mathdisp {K^\times/K^{\times 2}} { . }
\aufzaehlungvier{$K$ ist ein endlicher Körper. }{
\mathl{K=\mathbb R}{.} }{
\mathl{K=\mathbb C}{.} }{
\mathl{K=\mathbb Q}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{S=R/{\mathfrak a}}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{} {}


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