Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 9

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine Primzahl höchstens eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten besitzt.


Aufgabe *

Zeige, dass eine ganze Zahl genau dann die Differenz zweier Quadratzahlen ist, wenn der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gleich oder ist.


Aufgabe

Bestimme für eine oder mehrere Gaußsche Zahlen in diesem Diagramm (oder diesem) die Primfaktorzerlegung und trage das Ergebnis (mit Begründung) in den vorgesehenen Link ein. Man beschränke sich dabei auf Zahlen unterhalb der Hauptdiagonalen.


Die Gitterpunkte im farbig hinterlegten Bereich und entlang seines Randes sind als Link anklickbar.

01234567891+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8+i9+i2+2i3+2i4+2i5+2i6+2i7+2i8+2i9+2i3+3i4+3i5+3i6+3i7+3i8+3i9+3i4+4i5+4i6+4i7+4i8+4i9+4i5+5i6+5i7+5i8+5i9+5i6+6i7+6i8+6i9+6i7+7i8+7i9+7i8+8i9+8i9+9iGaußsche Ebene, 1. Quadrant


Aufgabe *

Bestimme in die Primfaktorzerlegung von . Begründe, warum die Faktoren prim sind.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.


Aufgabe

Zeige, dass die komplexen Zahlen die Restklassendarstellung

besitzen.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen die Restklassendarstellung

besitzt.


Aufgabe

Es sei . Zeige, dass der Restklassenring genau Elemente besitzt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zu einem Ideal welches enthält, sei das zugehörige Ideal in . Zeige, dass es eine kanonische Ringisomorphie

gibt.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe von Bemerkung 9.4 eine Quadratwurzel von in .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Zahlen zwischen und , ob die Summe von zwei ganzzahligen Quadraten ist. Man gebe alle möglichen Darstellungen an.


Aufgabe (2 Punkte)

Finde für alle Zehnerpotenzen eine Darstellung als Summe von zwei positiven Quadraten.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine natürliche Zahl, in deren Primfaktorzerlegung Faktoren vorkommen. Wie viele Darstellungen als Summe von zwei Quadratzahlen besitzt maximal?


Aufgabe (7 (1+1+1+4) Punkte)

Für einen Körper bezeichnet die Untergruppe aller Quadrate. Bestimme für die folgenden Körper die Restklassengruppe

  1. ist ein endlicher Körper.
  2. .
  3. .
  4. .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.



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