Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 9

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Summe von zwei Quadraten - Primzahlen

In diesem Abschnitt werden wir die Frage beantworten, welche ganze Zahlen sich als Summe von zwei Quadraten darstellen lassen, oder, anders formuliert, wann die diophantische Gleichung

eine Lösung mit ganzen Zahlen besitzt. Wir werden dabei wesentlich den Ring der Gaußschen Zahlen verwenden und schließen dabei an Vorlesung 2 an. Zunächst betrachten wir den Fall, wo eine ungerade Primzahl ist. Es gilt folgende Charakterisierung.



Satz  

Sei ein ungerade Primzahl. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist die Summe von zwei Quadraten, mit .
  2. ist die Norm eines Elementes aus .
  3. ist zerlegbar (nicht prim) in .
  4. ist ein Quadrat in .

Beweis  

(1) (2). Dies folgt sofort aus (diese Äquivalenz gilt für alle ganze Zahlen).

(2) (3). Die Normdarstellung

ist eine Faktorzerlegung in . Da und beide von verschieden sind, ist und ist keine Einheit, also ist die Zerlegung nicht trivial. Da der Ring der Gaußschen Zahlen nach Lemma 2.12 euklidisch ist, sind nach Satz 3.5 prim und unzerlegbar äquivalent.

(3) (2). Sei zerlegbar, sagen wir mit Nichteinheiten . Dann ist innerhalb der natürlichen Zahlen . Dann muss sein.

(3) (4). Es gilt

Dieser Restklassenring ist endlich und somit Aufgabe 9.5 genau dann ein Körper, wenn es ein Integritätsbereich ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass prim in ist (man kann auch mit nach Satz 3.12 schließen). Andererseits zeigt die Darstellung rechts, dass ein Körper genau dann vorliegt, wenn das Polynom ein irreduzibles Polynom in ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn das Polynom keine Nullstelle in besitzen, was bedeutet, dass kein Quadrat in ist.

Die Äquivalenz (4) (5) wurde schon im Satz 6.8 gezeigt.


Bemerkung  

Sei eine Primzahl, die modulo den Rest besitzt, so dass es nach Satz 9.1 eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten geben muss. Wie findet man eine solche Darstellung explizit? Einerseits durch probieren, andererseits kann man aber entlang dem Beweis des Satzes vorgehen. Dazu muss man folgende Schritte gehen:

  1. Finde in ein Element mit . Um dies zu finden braucht man in der Regel ein primitives Element in diesem Restklassenkörper (ist ein primitives Element, so kann man nehmen; siehe auch Aufgabe 6.7).
  2. Die Abbildung , die ganze Zahlen modulo nimmt und auf schickt, ist ein surjektiver Ringhomomorphismus auf einen Körper. Der Kern ist ein Hauptideal, das von und von erzeugt wird.
  3. Finde mit dem euklidischen Algorithmus einen Erzeuger für das Hauptideal . Ein solcher Erzeuger hat die Norm . Eine Zerlegung führt ja generell auf .



Beispiel  

Sei (man sieht natürlich sofort eine Darstellung). Mit dem oben beschriebenen Verfahren müsste man wie folgt vorgehen:

In ist , also kann man nehmen. Dies führt zum Ideal .

Division in liefert

und ist eine beste Approximation in . Damit ist die Division mit Rest

mit . Die nächste durchzuführende Division liefert

Damit ist also und somit ist ein Erzeuger des Ideals.


Bemerkung  

Wenn für eine Primzahl eine Darstellung

als Summe von zwei Quadraten bekannt ist, so kann man daraus einfach eine Quadratwurzel der in finden. In diesem Fall gibt es einen surjektiven Ringhomomorphismus

Die Isomorphie rechts rührt dabei von

her, wobei die Surjektivität darauf beruht, dass ein Körper ist und es in schon zwei Quadratwurzeln der gibt. Die Eigenschaft

überträgt sich auf das Bild, und dort gilt



Beispiel  

Wir wollen in eine Quadratwurzel für mit Hilfe von Bemerkung 9.4 finden. Es ist

Im Restklassenkörper

ist

In der Tat ist




Primfaktorzerlegung für Gaußsche Zahlen

Aus dem Hauptsatz können wir problemlos ableiten, wie sich die Primzahlen in verhalten:



Korollar  

Die Primzahlen aus haben in folgendes Zerlegungsverhalten:

    • Es ist

    und ist prim in .

    • Für ist

    mit gewissen eindeutig bestimmten , wobei beide Faktoren prim sind.

    • Für ist prim in .

Beweis  

Aufgrund von Satz 9.1 gibt es im zweiten Fall eine Darstellung

Wegen

haben die beiden Faktoren die Norm und sind deshalb nach Lemma 2.13 prim. Die Eindeutigkeit ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung im Ring der Gaußschen Zahlen und der Kenntnis der Einheiten.


Bemerkung  

Für eine Gaußsche Zahl kann man folgendermaßen entscheiden, ob sie prim ist bzw. wie ihre Primfaktorzerlegung aussieht:

  1. Berechne die Norm . Ist diese eine Primzahl, so ist nach Lemma 2.13 das Element selbst prim.
  2. Bestimme die (ganzzahligen) Primfaktoren von . Schreibe

    wobei die ungerade mit Rest modulo und die ungerade mit Rest modulo seien.

  3. Schreibe für die Primfaktoren mit Rest modulo , und . Damit ist
  4. Liste die möglichen Primfaktoren von (und zugleich von ) auf: das sind (falls mit positivem Exponenten vorkommt), die und sowie die (da ein Hauptidealbereich ist und  somit die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, setzt sich die Primfaktorzerlegung von und von bis auf Einheiten aus Primfaktoren der rechten Seite zusammen).
  5. Durch und die kann man sofort durchdividieren, da diese Faktoren jeweils sowohl von als auch von ein Faktor sind.
  6. Für die möglichen Primfaktoren und muss man (durch Division mit Rest) überprüfen, ob sie Primfaktoren von sind oder nicht (wenn nicht, so teilen sie ). Statt Division kann man auch die möglichen Kombinationen ausmultiplizieren.



Beispiel  

Es ist

wobei eine Primzahl ist. Wegen

besitzt in die Primfaktorzerlegung

und somit ergibt sich die Primfaktorzerlegung




Summe von zwei Quadraten

Wie kommen nun zur Bestimmung aller ganzen Zahlen, die Summe von zwei Quadraten sind.



Lemma  

ist eine Summe von zwei Quadraten.

Sind die natürlichen Zahlen und jeweils eine Summe von zwei Quadratzahlen, so ist auch das Produkt eine Summe von zwei Quadratzahlen.

Ist , und ist eine Summe von zwei Quadratzahlen, so auch .

Beweis  

Die erste Aussage ist klar, für die zweite hat man die Charakterisierung mit der Norm und die Multiplikativität der Norm auszunutzen. Ist , so kann man einfach mit multiplizieren.




Satz  

Sei eine positive natürliche Zahl. Schreibe , wobei jeder Primfaktor von nur einfach vorkomme. Dann ist die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von nur und Primzahlen vorkommen, die modulo den Rest haben.

Beweis  

Erfüllt die angegebene Bedingung an die Primfaktorzerlegung, so ist nach dem vorangehenden Lemma und dem Hauptsatz die Summe zweier Quadrate. Sei umgekehrt angenommen, dass die Summe zweier Quadrate ist, so dass also eine Zerlegung vorliegt. Sei ein Primfaktor von , der modulo den Rest besitze. Dann ist nach Satz 9.1 prim in und teilt einen und damit (betrachte die Konjugation) beide Faktoren in der Zerlegung, jeweils mit dem gleichen Exponenten. Damit ist der Exponent von in der Primfaktorzerlegung von gerade und kommt in der Primfaktorzerlegung von nicht vor.



Beispiel  

Nach Satz 9.10 ist

eine Summe von zwei Quadraten und

keine Summe von zwei Quadraten.




Summe von drei und von vier Quadraten

Die beiden folgenden Sätze heißen Dreiquadratesatz bzw. Vierquadratesatz (oder Satz von Lagrange).


Satz

Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann als Summe von drei Quadratzahlen darstellen,

wenn nicht die Form

mit besitzt.


Satz

Jede natürliche Zahl

lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen.

Das Waringsche Problem ist die Frage, ob man für jeden Exponenten eine Zahl mit der Eigenschaft derart finden kann, dass jede natürliche Zahl eine Darstellung als Summe von maximal -ten Potenzen besitzt. Bei ist . Dieses Problem wurde von Hilbert positiv gelöst. Beispielsweise kann man jede natürliche Zahl als Summe von Kuben darstellen. Für braucht man wirklich Kuben.

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