Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 8

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne für und den Ausdruck

Berechne damit mit Hilfe von Lemma 8.1.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ein quadratischer Rest modulo ist, oder nicht.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ein quadratischer Rest modulo ist, oder nicht.


Aufgabe

Bestimme mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Zusätze, ob ein quadratischer Rest modulo ist, oder nicht.


Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol

Bemerkung: und sind Primzahlen.


Aufgabe *

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe *

Beschreibe mittels geeigneter Kongruenzbedingungen diejenigen ungeraden Primzahlen mit der Eigenschaft, dass ein Quadratrest modulo ist.

Gibt es unendlich viele solche Primzahlen?


Aufgabe *

Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert hat, aber kein Quadratrest vorliegt.


Aufgabe

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen eine zu teilerfremde Zahl derart, dass in gilt.

a) .

b) .


Aufgabe

Finde die Lösungen der Kongruenz


Aufgabe

Zeige für eine positive ungerade Zahl die Gleichung




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Menge der Reste modulo mit der Eigenschaft, dass für jede ungerade Primzahl gilt: ist ein Quadratrest modulo genau dann, wenn zu gehört.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde eine ungerade Primzahl mit der Eigenschaft, dass alle Zahlen Quadratreste modulo sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne mit Hilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das Legendre-Symbol



Aufgabe (3 Punkte)

Zeige für eine positive ungerade Zahl die Gleichung


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige für zwei ungerade positive Zahlen und die Beziehung



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