Kurve/Morphismus/Vorgeschobener Divisor/Hauptdivisor/Fakt/Beweis

Beweis

Die Erweiterung der Funktionenkörper  ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$  besitzt nach Fakt einen Zwischenkörper  ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$  derart, dass  ${}\mathbb {Q} (C_{2})\subseteq M$  separabel und  ${}M\subseteq \mathbb {Q} (C_{1})$  rein-inseparabel ist. Dem entspricht gemäß Fakt eine Faktorisierung

$C_{1}\longrightarrow C\longrightarrow C_{2}.$

Es genügt also, die Aussage für eine separable Kurvenabbildung und eine rein-inseparable Kurvenabbildung zu zeigen. Im zweiten Fall liegt eine Verknüpfung von Körpererweiterungen der in Fakt beschriebenen Form vor, für diese wurde die Behauptung dort bewiesen.

Den separablen Fall kann man auf den Galoisfall zurückführen, der in Fakt  (3) behandelt wurde. Es sei  ${}Q(C)\subseteq Q(C_{1})\subseteq L$  insgesamt galoissch und  ${}L=Q(C_{0})$  mit einer weiteren Kurve ${}C_{0}$ endlich über ${}C_{1}$. Wir betrachten also die Situation

$C_{0}{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}C_{1}{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}C.$

Zu  ${}D=\operatorname {div} \left(f\right)$  behaupten wir wieder

${}\theta _{*}D=\operatorname {div} \left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right)\,.$

Es ist

${}\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} \left(f\right)=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} \left(f\right)\,.$

Nach Fakt  (3), Fakt, Fakt  (3) und Gesetzen für die Norm ist

${}{\begin{aligned}\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \theta _{*}(\operatorname {div} \left(f\right))&=\theta _{*}(\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} \left(f\right))\\&=\theta _{*}(\psi _{*}\psi ^{*}\operatorname {div} \left(f\right))\\&=(\theta _{*}\psi _{*})(\operatorname {div} \left(f\right))\\&=\operatorname {div} \left(N_{C}^{C_{0}}(f)\right)\\&=\operatorname {div} \left(N_{C}^{C_{1}}(f^{\operatorname {Grad} \,(\psi )})\right)\\&=\operatorname {Grad} \,(\psi )\cdot \operatorname {div} \left(N_{C}^{C_{1}}(f)\right).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage