Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Da die Norm stetig ist, existiert nach Fakt das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem Infimum über alle Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen der Funktion ${}t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$. Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung ${}a=t_{0}\leq \ldots \leq t_{k}=b$ durch ${}\sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})w_{i}$ mit ${}w_{i}={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}$ gegeben. Andererseits steht nach der Definition der Kurvenlänge links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen

$\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert .$

Aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt

${}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq (t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$

Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung

${}\sum _{i=1}^{k}\Vert {f(t_{i})-f(t_{i-1})}\Vert \leq \sum _{i=1}^{k}(t_{i}-t_{i-1})\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t_{i-1}\leq t\leq t_{i})}\,.$

Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.  Nehmen wir an, dass das Supremum ${}u$ der linken Seite größer als das Infimum ${}v$ der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich ${}u-{\frac {1}{3}}(u-v)$, und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich ${}v+{\frac {1}{3}}(u-v)$ ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt. D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt

${}L(f)\leq \int _{a}^{b}\Vert {f'(t)}\Vert \,dt\leq (b-a)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [a,b])}\,.$

Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall ${}[s,s']\subseteq [a,b]$. Es sei ${}L_{a}^{s}(f)$ die Länge der auf ${}[a,s]$ definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion nach ${}s$ ableitbar und eine Stammfunktion zu ${}t\mapsto \Vert {f'(t)}\Vert$ ist. Für den zugehörigen Differenzenquotienten ${}{\frac {L_{a}^{s'}(f)-L_{a}^{s}(f)}{s'-s}}={\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}$ in einem Punkt ${}s\in [a,b]$ gelten die Abschätzungen (${}s'>s$)

${}{\begin{aligned}{\frac {\Vert {f(s')-f(s)}\Vert }{s'-s}}&\leq {\frac {L_{s}^{s'}(f)}{s'-s}}\\&\leq {\frac {(s'-s)\cdot {\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}}{s'-s}}\\&={\operatorname {sup} \,(\Vert {f'(t)}\Vert ,t\in [s,s'])}.\end{aligned}}$

Für ${}s'\rightarrow s$ konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen ${}\Vert {f'(s)}\Vert$, so dass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.

Zur bewiesenen Aussage