Es sei
.
Es sei
der
Kern
der Abbildung und
seine
Dimension
(
).
Es sei
-
eine
Basis
von
.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
-
derart, dass
-
eine Basis von
ist. Wir behaupten, dass
-
eine Basis des Bildes ist. Es sei
ein Element des Bildes
. Dann gibt es ein
mit
.
Dieses
lässt sich mit der Basis als
-

schreiben. Dann ist

sodass sich
als
Linearkombination
der
schreiben lässt.
Zum Beweis der
linearen Unabhängigkeit
der
,
,
sei eine Darstellung der Null gegeben,
-

Dann ist
-

Also gehört
zum Kern der Abbildung und daher kann man
-

schreiben. Da insgesamt eine Basis von
vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten
sein müssen, also sind insbesondere

.