Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Für ${}f\in {W}^{*}$ ist

${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}(f)=f\circ {\left(\varphi \circ \psi \right)}={\left(f\circ \varphi \right)}\circ \psi =\varphi ^{*}(f)\circ \psi =\psi ^{*}(\varphi ^{*}(f))\,.$

(2) folgt direkt aus ${}f\circ \operatorname {Id} _{V}=f$.

(3). Es sei ${}f\in {V}^{*}$ und

${}\psi ^{*}(f)=0\,.$

Wegen der Surjektivität von ${}\psi$ gibt es für jedes ${}v\in V$ ein ${}u\in U$ mit ${}\psi (u)=v$. Daher ist

${}f(v)=f(\psi (u))=(\psi ^{*}(f))(u)=0\,$

und ${}f$ ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.

(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${}U\subseteq V$ als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

${}V=U\oplus U'\,$

mit einem weiteren ${}K$-Untervektorraum ${}U'\subseteq V$ schreiben. Eine Linearform

$g\colon U\longrightarrow K$

lässt sich zu einer Linearform

${\tilde {g}}\colon V\longrightarrow K$

fortsetzen, indem man beispielsweise ${}{\tilde {g}}$ auf ${}U'$ als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

Zur bewiesenen Aussage