Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Für ist

(2) folgt direkt aus .

(3). Sei und

Wegen der Surjektivität von gibt es für jedes ein mit . Daher ist

und ist selbst die Nullabbildung. Nach Fakt ist injektiv.

(4). Die Voraussetzung bedeutet, dass man als Untervektorraum auffassen kann. Man kann daher nach Fakt

mit einem weiteren -Untervektorraum schreiben. Eine Linearform

lässt sich zu einer Linearform

fortsetzen, indem man beispielsweise auf als die Nullform ansetzt. Dies bedeutet die Surjektivität.

Zur bewiesenen Aussage