Lineare Abbildung/Duale Abbildung/Funktorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ und es seien

$\psi \colon U\longrightarrow V$

und

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

lineare Abbildungen. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Für die duale Abbildung gilt

   ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{*}=\psi ^{*}\circ \varphi ^{*}\,.$

2. Für die Identität auf ${}V$ ist

   ${}{\operatorname {Id} _{V}}^{*}=\operatorname {Id} _{{V}^{*}}\,.$

3. Wenn ${}\psi$ surjektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ injektiv.
4. Wenn ${}\psi$ injektiv ist, so ist ${}\psi ^{*}$ surjektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen