Lineare Abbildung/K^n nach K^m/Polynomring kontravariant/Explizit/Bemerkung

Es sei

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

eine lineare Abbildung, die durch eine ${}m\times n$-Matrix ${}A$ gegeben sei. Dann wird der zugehörige ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]\longrightarrow K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$

durch ${}Y_{j}\mapsto \sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}$ gegeben. Nach Definition wird ${}Y_{j}$ auf die Hintereinanderschaltung

$K^{n}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K^{m}{\stackrel {p_{j}}{\longrightarrow }}K$

abgebildet. Diese schickt den ${}i$-ten Standardvektor ${}e_{i}$ auf

${}p_{j}{\left(\varphi (e_{i})\right)}=p_{j}{\left(\sum _{k=1}^{m}a_{ki}e_{k}\right)}=a_{ji}\,.$

Durch diese Bedingungen ist aber gerade

${}\sum _{k=1}^{n}a_{jk}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{jk}X_{k}\,$

charakterisiert. Zu einer Linearform ${}\sum _{j=1}^{m}b_{j}Y_{j}$ berechnet man also das Bild ${}\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}$, indem man ${}c={A^{\text{tr}}}b$ ausrechnet. Für ein beliebiges Polynom ${}F\in K[Y_{1},\ldots ,Y_{m}]$ ergibt sich das Bild, indem man in ${}F$ jedes ${}Y_{j}$ durch den angegebenen Ausdruck ersetzt.