Lineare Abbildung/Körperwechsel/Matrix/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis  ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$  und sei ${}W$ ein ${}m$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis  ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$.  Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung mit der beschreibenden Matrix  ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )={\left(a_{ij}\right)}$.  Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung.

Dann wird die durch den Körperwechsel gewonnene lineare Abbildung

$\varphi _{L}\colon V_{L}\longrightarrow W_{L}$

bezüglich der Basen ${}1\otimes v_{1},\ldots ,1\otimes v_{n}$ von ${}V_{L}$ und ${}1\otimes w_{1},\ldots ,1\otimes w_{m}$ von ${}W_{L}$ ebenfalls durch die Matrix ${}M$, aufgefasst über ${}L$, beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen