Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition

Multilinear

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei $n\in \mathbb{N}$ und

$\mathrm{△}:V^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{V\times \cdots \times V}}⟶K$

eine Abbildung. Man nennt $\mathrm{△}$ multilinear, wenn für jedes $i\in \{1,\dots ,n\}$ und jedes $(n-1)$-Tupel $(v_1,\dots ,v_{i-1},v_{i+1},\dots ,v_n)$ die induzierte Abbildung

$V⟶K,u⟼\mathrm{△}(v_1,\dots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\dots ,v_n),$

linear ist.

Eine multilineare Abbildung $\mathrm{△}$ heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: falls in $v=(v_1,\dots ,v_n)$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_i=v_j$ für ein Paar $i\ne j$, so ist $\mathrm{△}(v)=0$.