Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt/Beweis

Beweis

$(1) \Rightarrow (2)$ . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ von $V$ mit

V_{i} = ⟨ v_{1}, \dots, v_{i} ⟩ .

Da es sich dabei um eine $φ$ -invariante Fahne handelt, gilt

φ (v_{i}) = b_{1 i} v_{1} + b_{2 i} v_{2} + \dots + b_{i i} v_{i} .

Bezüglich dieser Basis besitzt die beschreibende Matrix zu $φ$ obere Dreiecksgestalt.
$(2) \Rightarrow (3)$ . Das charakteristische Polynom von $φ$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $χ_{M}$ , wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Fakt das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
$(3) \Rightarrow (1)$ . Induktion nach $n$ , für $n = 0$ ist nichts zu zeigen. Es sei nun $n \geq 1$ und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $< n$ schon bewiesen. Es sei $λ_{1}$ eine Nullstelle von $P = χ_{φ}$ . Dann gibt es nach Fakt einen Eigenvektor $v_{1} \in V$ zum Eigenwert $λ_{1}$ . Es sei $u_{2}, \dots, u_{n}$ eine Ergänzung von $v_{1}$ zu einer Basis von $V$ . Wir setzen $U = ⟨ u_{2}, \dots, u_{n} ⟩$ , dies ist ein $(n - 1)$ -dimensionaler Untervektorraum. Es ist

φ (u_{i}) = a_{i} v_{1} + b_{2 i} u_{2} + \dots + b_{n i} u_{n} .

Durch die Festlegung

g (u_{i}) = a_{i} v_{1} \in V

erhalten wir eine lineare Abbildung

g : U ⟶ V,

und durch die Festlegung

h (u_{i}) = b_{i 2} u_{2} + \dots + b_{i n} u_{n}

erhalten wir eine lineare Abbildung

h : U ⟶ U .

Mit diesen Abbildungen gilt

φ (u) = g (u) + h (u)

für $u \in U$ , da dies für die Basis gilt. In der Basis $v_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ besitzt $φ$ die Gestalt

(\begin{matrix} λ_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ 0 & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ 0 & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & b_{n 2} & \dots & b_{n n} \end{matrix}) .

Die Teilmatrix $N$ rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von $h$ . Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung

χ_{M} = (X - λ_{1}) χ_{N},

sodass nach Fakt auch

χ_{N} = χ_{h}

in Linearfaktoren zerfällt. Wir können also auf $h : U \to U$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine $h$ -invariante Fahne

0 = U_{0} \subset U_{1} \subset \dots \subset U_{n - 2} \subset U_{n - 1} = U .

Damit definieren wir

V_{i + 1} := K v_{1} + U_{i}

für $i = 0, \dots, n - 1$ und erhalten die Fahne

0 = V_{0} \subset V_{1} \subset \dots \subset V_{n - 1} \subset V_{n} = V .

Diese Fahne ist $f$ -invariant. Dies ist für $V_{1}$ klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für $v \in V_{i}$ mit $v = c v_{1} + u$ mit $u \in U_{i}$ die Beziehung

φ (c v_{1} + u) = c λ v_{1} + φ (u) = c λ v_{1} + g (u) + h (u) = (c λ + a) v_{1} + h (u),

und dies gehört zu $V_{i}$ .

Der Zusatz ergibt sich wie folgt. Die trigonalisierbare Abbildung $φ$ werde bezüglich der Basis $𝔲$ durch die Matrix $M$ beschrieben, und bezüglich der Basis $𝔳$ durch die obere Dreiecksmatrix $D$ . Dann gilt nach Fakt die Beziehung $T = B M B^{- 1}$ , wobei $B$ den Basiswechsel beschreibt.

Zur bewiesenen Aussage