Lineare Abbildungen/Zugehörige Produktabbildung/Linear/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ seien ${}K$ -Vektorräume ${}V_{i}$ und ${}W_{i}$ sowie lineare Abbildungen

\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow W_{i}

gegeben. Zeige, dass dann auch die Produktabbildung

\varphi =\varphi _{1}\times \varphi _{2}\times \cdots \times \varphi _{n}\colon V_{1}\times V_{2}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W_{1}\times W_{2}\times \cdots \times W_{n},\,\left(v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\longmapsto \left(\varphi _{1}(v_{1}),\,\varphi _{2}(v_{2}),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(v_{n})\right),

eine lineare Abbildung zwischen den Produkträumen ist.