Lineare Algebra/Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Selbe Primteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton liegt das charakteristische Polynom in ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$. Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des Minimalpolynoms, welches ${\mathrm{Ann}}_{K[X]}{V}_f$ erzeugt.

Wir haben in Fakt gezeigt, dass sich $V_f$ als direkte Summe zyklischer Moduln $U_i,i\in I$ darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.

Außerdem gilt nach Fakt für die $K[X]$-Moduln, die sich aus den Einschränkungen von $f$ auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils ${\mu }_{f\mid U_i}={\chi }_{f\mid U_i}$ ist. Es gilt nun, dass ${\chi }_f$ das Produkt $\prod _{i\in I}{\chi }_{f\mid U_i}=\prod _{i\in I}{\mu }_{f\mid U_i}$ teilt. ${\mu }_{f\mid U_i}$ muss aber für alle $i\in I$ ein Teiler von ${\mu }_f$ sein, da ${\mu }_f$ trivialerweise auch den Untermodul $U_i\subseteq V_f$ annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in ${\chi }_f$ auch in ${\mu }_f$ vorkommen.

Zur bewiesenen Aussage