Lineare Algebra/Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Selbe Primteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton liegt das charakteristische Polynom in ${}\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}$. Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des Minimalpolynoms, welches ${}\operatorname {Ann} _{K[X]}V_{f}$ erzeugt.

Wir haben in Fakt gezeigt, dass sich ${}V_{f}$ als direkte Summe zyklischer Moduln ${}U_{i},i\in I$ darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.

Außerdem gilt nach Fakt für die ${}K[X]$-Moduln, die sich aus den Einschränkungen von ${}f$ auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils ${}\mu _{f{|}U_{i}}=\chi _{f{|}U_{i}}$ ist. Es gilt nun, dass ${}\chi _{f}$ das Produkt ${}\prod _{i\in I}\chi _{f{|}U_{i}}=\prod _{i\in I}\mu _{f{|}U_{i}}$ teilt. ${}\mu _{f{|}U_{i}}$ muss aber für alle ${}i\in I$ ein Teiler von ${}\mu _{f}$ sein, da ${}\mu _{f}$ trivialerweise auch den Untermodul ${}U_{i}\subseteq V_{f}$ annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in ${}\chi _{f}$ auch in ${}\mu _{f}$ vorkommen.

Zur bewiesenen Aussage