Lineare Algebra/Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Selbe Primteiler/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton liegt das charakteristische Polynom in . Damit ist das charakteristische Polynom auch ein Vielfaches des Minimalpolynoms, welches erzeugt.

Wir haben in Fakt gezeigt, dass sich als direkte Summe zyklischer Moduln darstellen lässt, wenn ein Minimalpolynom existiert. Dies lässt sich hier anwenden.

Außerdem gilt nach Fakt für die -Moduln, die sich aus den Einschränkungen von auf die zyklischen Untermoduln ergeben, dass hier jeweils ist. Es gilt nun, dass das Produkt teilt. muss aber für alle ein Teiler von sein, da trivialerweise auch den Untermodul annulliert. Deshalb muss jeder Primteiler in auch in vorkommen.