Lineare Algebra 1/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Unter einer Familie von Mengen versteht man die Situation, in der eine Indexmenge ${}I$ fixiert ist und in der zu jedem ${}i\in I$ eine Menge ${}M_{i}$ gegeben ist.
2. Eine Familie von Vektoren ${}v_{i}$, ${}i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn eine Gleichung

   $\sum _{i\in J}a_{i}v_{i}=0{\text{ mit }}a_{i}\in K{\text{ für eine endliche Teilmenge }}J\subseteq I$

   nur bei ${}a_{i}=0$ für alle ${}i$ möglich ist.

3. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   heißt Projektion von ${}V$ auf ${}U$, wenn ${}U=\operatorname {bild} \varphi$ und ${}\varphi {|}_{U}=\operatorname {Id} _{U}$ ist.

4. Man nennt

   ${}U^{\perp }={\left\{f\in {V}^{*}\mid f(u)=0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\subseteq {V}^{*}\,$

   den Orthogonalraum zu ${}U$.

5. Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

   ${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

   mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

6. Ein Element ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, heißt ein Eigenvektor von ${}\varphi$, wenn

   ${}\varphi (v)=\lambda v\,$

   mit einem gewissen ${}\lambda \in K$ gilt.

Zur gelösten Aufgabe