Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$, das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.
2. Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so ist auch ${}U$ endlichdimensional und es gilt

   ${}\dim _{K}{\left(U\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn ${}V$ die direkte Summe der Eigenräume

   ist.