Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

1. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien $U,V,W$ Vektorräume über einem Körper $K$ mit Basen

   $𝔲=u_1,\dots ,u_p,𝔳=v_1,\dots ,v_n\text{ und }𝔴=w_1,\dots ,w_m.$

   Es seien

   $\psi :U⟶V\text{ und }\phi :V⟶W$

   lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von $\psi ,\phi$ und der Hintereinanderschaltung $\phi \circ \psi$ die Beziehung

   $M_{𝔴}^{𝔲}(\phi \circ \psi )=(M_{𝔴}^{𝔳}(\phi ))\circ (M_{𝔳}^{𝔲}(\psi )).$

2. Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$-Vektorräume und sei $n\in \mathbb{N}$. Es sei

   $\mathrm{\Phi }:V^n=\underset{n\text{-mal}}{\underbrace{V\times \cdots \times V}}⟶W$

   eine alternierende Abbildung. Dann gilt

   $\mathrm{\Phi }(v_1,\dots ,v_{r-1},v_r,v_{r+1},\dots ,v_{s-1},v_s,v_{s+1},\dots ,v_n)=-\mathrm{\Phi }(v_1,\dots ,v_{r-1},v_s,v_{r+1},\dots ,v_{s-1},v_r,v_{s+1},\dots ,v_n).$

3. Es sei $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und es sei

   $f:V⟶V$

   eine lineare Abbildung. Dann besitzt das charakteristische Polynom ${\chi }_f$ und das Minimalpolynom

   ${\mu }_f$ die gleichen Nullstellen.

Zur gelösten Aufgabe