Lineare Algebra 1/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe/Lösung

1. Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit Basen

   ${\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.$

   Es seien

   $\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W$

   lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

   $M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi )).$

2. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

   $\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

   eine alternierende Abbildung. Dann gilt

   ${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$

3. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

   $f\colon V\longrightarrow V$

   eine lineare Abbildung. Dann besitzt das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom

   ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.