Lineare Algebra 2/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

   ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

   die wir durch die Übergangsmatrix ${}A=(a_{ij})_{i,j}$

   ausdrücken. Dan
2. Die Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$ sind genau die Teilmengen der Form

   ${}\mathbb {Z} d={\left\{kd\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}\,$

   mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl ${}d$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum der Dimension ${}m$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}V$ und es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Dann bilden die Dachprodukte

   $v_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge v_{i_{n}}{\text{ mit }}1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq m$

   eine Basis von ${}\bigwedge ^{n}V$.

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