Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Ohne Einschränkung sei gemäß Fakt

$V={ℝ}^n$

mit dem Standardskalarprodukt. Die Spalten in der beschreibenden Matrix $M$ zu $\phi$ bezüglich der Standardbasis $e_1,\dots ,e_n$ sind

$u_i=\phi (e_i),$

und diese bilden nach Voraussetzung ebenfalls eine Orthonormalbasis des ${ℝ}^n$. Insbesondere ist

$⟨u_i,u_j⟩={\delta }_{ij}.$

Daher ist

$M^{\text{tr}}M=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right).$

Somit folgt die Aussage aus dem Determinantenmultiplikationssatz und aus

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe