Lineare Operation/Invariantes Polynom/Invariante Funktion/Bemerkung

Die Elemente eines Polynomrings ${}K[V]$ zu einem ${}K$-Vektorraum ${}V$ kann man als Funktionen von ${}V$ nach ${}K$ auffassen. Wenn eine lineare Operation einer Gruppe ${}G$ auf ${}V$ vorliegt, so ist ein Element ${}f\in K[V]^{G}\subseteq K[V]$ eine invariante Funktion von ${}V$ nach ${}K$ im Sinne von Definition. Zu ${}\sigma \in G$ und ${}v\in V$ ist ja

${}f(\sigma (v))=(f\sigma )(v)=f(v)\,.$

Wenn ${}K$ unendlich ist, so gilt hiervon auch die Umkehrung, d.h. ein Polynom ${}f\in K[V]$, das aufgefasst als Funktion auf ${}V$ invariant ist, gehört zum Invariantenring ${}K[V]^{G}$, siehe Aufgabe. Bei endlichem ${}K$ muss die Umkehrung nicht gelten, siehe Beispiel.