Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Metrisch/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist nach Aufgabe ${}\psi ^{*}E$ wieder ein riemannsches Bündel. Wir betrachten die lokale Situation

$\psi \colon U'\longrightarrow U$

und ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$ und entsprechend ${}\psi ^{*}E=U'\times \mathbb {R} ^{r}$. Die beschreibenden Funktionen

${}h_{\ell m}=\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle \,$

der riemannschen Struktur auf ${}E$ hängen auf ${}U$ und auf ${}U'$ unmittelbar über ${}\psi$ zusammen. Es sei ${}\partial _{j}$ ein Standardvektorfeld auf ${}U'$ und ${}s_{\ell },s_{m}$ Basischnitte in ${}E$. Es ist

${}{\begin{aligned}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\partial _{j}{\left(h_{\ell ,m}\circ \psi \right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}{\left(\partial _{i}h_{\ell ,m}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\partial _{i}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle .\end{aligned}}$

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle &=\left\langle \sum _{k=1}^{r}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle {\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{k=1}^{r}\left\langle \sum _{i=1}^{n}\Gamma _{i\ell }^{k}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{i\ell }^{k}s_{k},s_{m}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle \end{aligned}}$

und entsprechend

${}\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\left\langle s_{\ell },\nabla _{\partial _{i}}s_{m}\right\rangle \,.$

Da ${}\nabla$ metrisch ist folgt

${}\partial _{j}\left\langle s_{\ell },s_{m}\right\rangle =\left\langle {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{\ell },s_{m}\right\rangle +\left\langle s_{\ell },{\left(\psi ^{*}\nabla \right)}_{\partial _{j}}s_{m}\right\rangle \,$

und daraus folgt mit Aufgabe, dass ${}\psi ^{*}\nabla$ metrisch ist.

Zur bewiesenen Aussage