Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein riemannsches Vektorbündel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf ${}E$ . Es sei vorausgesetzt, dass ${}\nabla$ lokal für die Standardvektorfelder ${}\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ und Basisschnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ von ${}E$ die Eigenschaft

{}\partial _{i}\left\langle s_{j},s_{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}s_{j},s_{k}\right\rangle +\left\langle s_{j},\nabla _{\partial _{i}}s_{k}\right\rangle \,

für alle ${}i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass ${}\nabla$ metrisch

ist.