Linearer Zusammenhang/Vertikale Ableitung/Längs Abbildung/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}p\colon E\rightarrow M$ ein differenzierbares Vektorbündel über einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Es sei ${}\psi \colon L\rightarrow M$ eine differenzierbare Abbildung mit dem zurückgezogenen Zusammenhang ${}\psi ^{*}\nabla$ auf dem zurückgezogenen Vektorbündel ${}\psi ^{*}E$ über ${}L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Abbildung

   $\psi ^{*}\nabla \colon C^{1}(\psi ^{*}E)\longrightarrow C^{0}(\psi ^{*}E\otimes T^{*}L),\,s\longmapsto {\left(\psi ^{*}\nabla \right)}(s),$

   ist ${}\mathbb {R}$-linear. Insbesondere ist ${}\psi ^{*}\nabla$ ein linearer Zusammenhang.

2. Für eine Einschränkung

   $\psi \colon U'\longrightarrow U$

   auf offene Kartengebiete mit Koordinaten ${}z_{1},\ldots ,z_{m}$ von ${}U'$ und Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ von ${}U$ gilt für die Christoffelsymbole ${}{\tilde {\Gamma }}_{\ell j}^{k}$ von ${}\psi ^{*}\nabla$ und Basisschnitte ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ die Beziehung

   ${}{\tilde {\Gamma }}_{j\ell }^{k}=\sum _{i=1}^{n}{\left(\partial _{j}\psi _{i}\right)}\Gamma _{i\ell }^{k}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen