Lineares Gleichungssystem/Lösungsverfahren/Verschiedene Bemerkungen/Textabschnitt

Bemerkung  

Gelegentlich möchte man ein simultanes lineares Gleichungssystem der Form

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}&(=&d_{1},&=&e_{1},\ldots )\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}&(=&d_{2},&=&e_{2},\ldots )\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}&(=&d_{m},&=&e_{m},\ldots )\end{matrix}}$

lösen. Es sollen also für verschiedene Störvektoren Lösungen des zugehörigen inhomogenen Gleichungssystems berechnet werden. Grundsätzlich könnte man dies als voneinander unabhängige Gleichungssysteme betrachten, es ist aber geschickter, die Umwandlungen, die man auf der linken Seite macht, um Dreiecksgestalt zu erreichen, simultan auf der rechten Seiten mit allen Störvektoren durchzuführen. Ein wichtiger Spezialfall bei ${}n=m$ liegt vor, wenn die Störvektoren die Standardvektoren durchlaufen, siehe Fakt.

Wir besprechen noch kurz weitere Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen.

Bemerkung  

Ein weiteres Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, ist das Einsetzungsverfahren. Dabei werden ebenfalls Variablen sukzessive eliminiert, allerdings in einer anderen Weise. Wenn man mit diesem Verfahren die Variable ${}x_{1}$ eliminieren möchte, so löst man eine Gleichung, sagen wir ${}G_{1}$, in der ${}x_{1}$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten vorkommt, nach ${}x_{1}$ auf, und erhält eine neue Gleichung der Form

$G_{1}':\,\,\,x_{1}=F_{1},$

wobei in ${}F_{1}$ die Variable ${}x_{1}$ nicht vorkommt. In allen weiteren Gleichungen ${}G_{2},\ldots ,G_{m}$ ersetzt man die Variable ${}x_{1}$ durch ${}F_{1}$ und erhält (nach Umformungen) ein Gleichungssystem ${}G_{2}',\ldots ,G_{m}'$ ohne die Variable ${}x_{1}$, das zusammen mit ${}G_{1}'$ äquivalent zum Ausgangssystem ist.

Bemerkung  

Ein anderes Verfahren, ein lineares Gleichungssystem zu lösen, ist das Gleichsetzungsverfahren. Dabei werden ebenfalls Variablen sukzessive eliminiert, allerdings in anderer Weise. Bei diesem Verfahren löst man die Gleichungen ${}G_{i}$, ${}i=1,\ldots ,m$, nach einer festen Variablen, sagen wir ${}x_{1}$ auf. Es seien (nach Umordnung) ${}G_{1},\ldots ,G_{k}$ die Gleichungen, in denen die Variable ${}x_{1}$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten vorkommt. Diese Gleichungen bringt man in die Form

$G_{i}':\,\,\,x_{1}=F_{i},$

wobei in ${}F_{i}$ die Variable ${}x_{1}$ nicht vorkommt. Das Gleichungssystem bestehend aus

$G_{1}',F_{1}=F_{2},F_{1}=F_{3},\ldots ,F_{1}=F_{k},G_{k+1},\ldots ,G_{m}$

ist zum gegebenen System äquivalent. Mit diesem System ohne ${}G_{1}'$ fährt man fort.

Bemerkung  

Die in Fakt, Bemerkung und Bemerkung beschriebenen Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems unterscheiden sich hinsichtlich Schnelligkeit, strategischer Konzeption, Systematik, Komplexität der Koeffizienten, Fehleranfälligkeit. Beim Eliminationsverfahren tritt die systematische Reduzierung der Variablenanzahl (Dimensionsreduktion) besonders deutlich hervor und man kann mit ihm eigentlich keine Fehler (außer Rechenfehler) machen und weiß immer, wie es weiter geht. Allerdings treten diese Vorteile erst ab zumindest drei Variablen hervor. Bei zwei Variablen ist es nahezu egal, welchen Weg man wählt.

Die Bewertung der Verfahren hängt auch wesentlich von konkreten Besonderheiten des vorliegenden Systems ab. Solche Besonderheiten muss man berücksichtigen, um „Abkürzungen“ auf dem Weg zur Lösung zu sehen. Die bewusste Wahl eines für das konkrete Problem angemessenen Lösungsweges nennt man Adaptivität (ein Begriff, der im didaktischen Kontext mit unterschiedlichen Bedeutungen verwendet wird). Wenn beispielsweise eine Zeile des Systems die Form ${}x=3$ besitzt, so sollte man erkennen, dass daraus unmittelbar ein Teil der Lösung ablesbar ist, und nicht zu dieser Zeile andere Zeilen hinzuaddieren und dadurch viele Variablen reinkriegen. Hier sollte man stattdessen in den anderen Zeilen das ${}x$ durch die ${}3$ ersetzen und dann weiter machen. Oder: Wenn es vier Gleichungen gibt, wobei in zwei Gleichungen nur die Variablen ${}x$ und ${}y$ und in den beiden anderen Gleichungen nur die Variablen ${}z$ und ${}w$ vorkommen, so sollte man erkennen, dass im Prinzip zwei entkoppelte lineare Systeme mit je zwei Variablen vorliegen und diese getrennt lösen. Oder: Es kann sein, dass ein kleines Teilsystem des Gleichungssystems bereits sicherstellt, dass es gar keine Lösung gibt. Dann muss man nur dies herausarbeiten und die anderen Gleichungen gar nicht berücksichtigen. Und: die genaue Fragestellung beachten! Wenn gefragt ist, ob ein bestimmtes Tupel eine Lösung ist, so muss man das Tupel nur in die Gleichungen einsetzen, Manipulationen an den Gleichungen sind nicht nötig.

Bemerkung  

Unter einem linearen Ungleichungssystem über den rationalen Zahlen oder den reellen Zahlen versteht man ein System der Form

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&\star &c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&\star &c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&\star &c_{m}\,,\end{matrix}}$

wobei ${}\star$ gleich ${}\leq$ oder ${}\geq$ ist. Die Lösungsmenge ist deutlich schwieriger zu beschreiben als im Gleichungsfall. Eine Eliminierung von Variablen ist im Allgemeinen nicht möglich.