Lineares System/Basiswechsel/Projektiver Automorphismus/Aufgabe

Es sei ${}X$ ein Schema über einem Körper ${}K$, es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$ und es seien ${}s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ globale Schnitte auf ${}X$, die das lineare System ${}\langle s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle \subseteq \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ festlegen. Es sei ${}t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}$ ein weiteres Erzeugendensystem dieses linearen Systems. Zeige folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\bigcup _{i=0}^{n}X_{s_{i}}=\bigcup _{i=0}^{n}X_{t_{i}}$.
2. Für die durch diese Erzeugendensysteme gegebenen Morphismen gibt es einen projektiv-linearen Automorphismus

   $\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n}$

   mit

   ${}\theta \circ \varphi _{s_{0},s_{1},\ldots ,s_{n}}=\varphi _{t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}}\,.$

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